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三等分任意角是三大几何作图不能问题之一,古希腊数学家阿基米德就设计出了一个巧妙的三等分角的方法:在直尺边缘上添加一点P,命尺端为O(如图①);设所要三等分的角是∠MCN,以C为圆心,OP为半径作半圆交给定角的两边CM、CN于A、B两点;移动直尺,使直尺上的O点在AC的延长线上移动,P点在圆周上移动,当直尺正好通过B点时,连OPB,则有∠AOB=∠MCN.这种方法由于在直尺上作了一个记号,不符合尺规作图中直尺只能用来连线的规定,因此还不能算是严格意义上的尺规作图.
(1)动手实践操作,用以上方法三等分∠MCN,在图②中画出图形并标明相应字母;
(2)请你就阿基米德的作图方法给出证明.

【答案】分析:(1)根据题意画出图形即可,注意OP长度不变;
(2)根据等边对等角以及三角形外角的性质得出∠O+∠PCO=∠1=∠2=2x,即可得出答案.
解答:(1)解:如图所示:

(2)证明:∵OP=PC=BC,
∴∠O=∠PCO,∠A=∠2,
设∠O=∠PCO=x,
∴∠O+∠PCO=∠1=∠2=2x,
∴∠3=∠O+∠2=3x,
∴∠AOB=∠MCN.
点评:此题主要考查了复杂作图以及三角形外角的性质以及等边对等角,根据已知条件用同一个未知数得出∠AOB与∠MCN关系是解题关键.
练习册系列答案
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三等分任意角是三大几何作图不能问题之一,古希腊数学家阿基米德就设计出了一个巧妙的三等分角的方法:在直尺边缘上添加一点P,命尺端为O(如图①);设所要三等分的角是∠MCN,以C为圆心,OP为半径作半圆交给定角的两边CM、CN于A、B两点;移动直尺,使直尺上的O点在AC的延长线上移动,P点在圆周上移动,当直尺正好通过B点时,连OPB,则有∠AOB=
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∠MCN.这种方法由于在直尺上作了一个记号,不符合尺规作图中直尺只能用来连线的规定,因此还不能算是严格意义上的尺规作图.
(1)动手实践操作,用以上方法三等分∠MCN,在图②中画出图形并标明相应字母;
(2)请你就阿基米德的作图方法给出证明.

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科目:初中数学 来源: 题型:

“用直尺和圆规三等分任意角是世界三大几何作图不能问题之一”,2000多年来吸引了无数的数学爱好者为此探索和努力!
已知∠AOB=90°,用直尺和圆规你能三等分这个直角吗?如果能请作出图来 (尺规作图,勿写作法,留下痕迹);如果不能,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

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(1)动手实践操作,用以上方法三等分∠MCN,在图②中画出图形并标明相应字母;
(2)请你就阿基米德的作图方法给出证明.

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已知∠AOB=90°,用直尺和圆规你能三等分这个直角吗?如果能请作出图来 (尺规作图,勿写作法,留下痕迹);如果不能,请说明理由.

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