Question

3．如图，抛物线y=ax²-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D在x轴上，点E在抛物线上，且以A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求抛物线的对称轴，写出与y轴交点C的坐标，根据对称性得出点B（5，4），根据勾股定理求OA的长，写出点A的坐标并代入解析式中，求出a的值，写出抛物线的解析式；
（2）解法一：
分两种情况进行讨论：①当点D在x轴的正半轴上时，如图1和图2，设E（x，y），则y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4，
先求出x的值，再求点D的坐标；②当点D在x轴的负半轴上时，如图3，构成了?ABED，此种情况比较简单，可以直接写出点D的坐标．
解法二：利用平移的性质，A点平移到B点和D点与E点之间的平移情况一样，再利用数形结合算出答案．

解答 解：（1）y=ax²-5ax+4，
对称轴：x=-$\frac{-5a}{2a}$=$\frac{5}{2}$，且C（0，4），
∴B（5，4），OC=4，
∴BC=5，
∵AC=BC，
∴AC=5，
由勾股定理得：OA=3，
∴A（-3，0），
把A（-3，0）代入y=ax²-5ax+4中得：9a+15a+4=0，
a=-$\frac{1}{6}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4；
（2）解法一：①当点D在x轴的正半轴上时，如图1和图2，过E作EF⊥x轴于F，过B作BG⊥x轴于G，
设E（x，y），则y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AB=ED，
∵∠EDF=∠BAG，∠EFD=∠AGB=90°，
∴△EFD≌△BGA，
∴EF=BG=4，DF=AG，
∴AF=DG，
则y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4=-4，
解得：x=$\frac{5±\sqrt{217}}{2}$，
如图1，∴AF=$\frac{\sqrt{217}-5}{2}$-3=$\frac{\sqrt{217}-11}{2}$，
∴OD=OG-DG=5-AF=5-$\frac{\sqrt{217}-11}{2}$=$\frac{21-\sqrt{217}}{2}$，
∴D（$\frac{21-\sqrt{217}}{2}$，0），
如图2，同理得△ABG≌△DEF，
∴DF=AG=3+5=8，
∴OD=OF+DF=$\frac{5+\sqrt{217}}{2}$+8=$\frac{21+\sqrt{217}}{2}$，
∴D（$\frac{21+\sqrt{217}}{2}$，0），
②如图3，当点D在x轴的负半轴上时，构成了?ABED，
则点E与点C重合，AD=BC=5，
∴D（-8，0），
解法二：①当点D在x轴的正半轴上时，如图1和图2，过E作EF⊥x轴于F，过B作BG⊥x轴于G，
∵四边形ABDE是平行四边形，
根据平移得：如图1，A到B可以看作是：点A向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点E到D的平移规律相同，
设E（x，y），则y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4，
∴D（x+8，-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4+4），
∵D在x轴上，
∴-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4+4=0，
解得：x=$\frac{5±\sqrt{217}}{2}$，
∴D（$\frac{21-\sqrt{217}}{2}$，0）或（$\frac{21+\sqrt{217}}{2}$，0），
②如图3，当点D在x轴的负半轴上时，构成了?ABED，
则点E与点C重合，
∵C（0，4），
由平移得：D（-8，0），

综上所述，点D的坐标为（$\frac{21-\sqrt{217}}{2}$，0）或（$\frac{21+\sqrt{217}}{2}$，0）或（-8，0）．

点评 本题综合考查了二次函数、平行四边形、全等三角形的性质，综合性较强；运用了二次函数的对称性求点的坐标，并运用待定系数法求二次函数的解析式；对于由四点组成平行四边形的问题，要分情况进行讨论，本题是按点D在x轴的正、负半轴的情况进行分类，也可以利用点E在x轴的上方抛物线和下方抛物线分类．