Question

19．如图，菱形ABCD的边长是2，∠B=120°，P是对角线AC上一个动点，E是CD的中点，则PE+PD的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 如图，连接BD、BE、PB．由B、D关于AC对称，推出PB=PD，推出PD+PE=PB+PE，在△PBE中，PB+PE≥BE，推出PD+PE的最小值为BE的值，求出BE的值即可．

解答 解：如图，连接BD、BE、PB．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AB∥CD，BC=CD=2，
∴∠BCD=180°-120°=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵CE=DE，
∴BE⊥CD，易知BE=$\sqrt{3}$，
∵B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PD+PE=PB+PE，
在△PBE中，PB+PE≥BE，
∴PD+PE的最小值为BE的值，
∴PD+PE的最小值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．