Question

2．已知关于x的一元二次方程（m²-1）x²+2（m-2）x+1=0有实数根．
（1）求m的最大整数值；
（2）当m取最大整数值时，
①求出该方程的根；②求3x²+$\frac{36x-5}{{x}^{2}+4x+2}$的值．

Answer 1

分析 （1）当二次项系数为0时，可得出m=±1，当二次项系数不为0时，由方程有实数根结合根的判别式可得出m≤$\frac{5}{4}$且m≠±1，由此即可得出m的最大整数值为1；
（2）①将m=1代入原方程求出x值；②将①中的结论代入分式中，即可求出结论．

解答 解：（1）方程（m²-1）x²+2（m-2）x+1=0有实数根分两种情况：
当m²-1=0时，m-2≠0，此时m=±1；
当m²-1≠0时，△=[2（m-2）]²-4（m²-1）=-16m+20≥0，
解得：m≤$\frac{5}{4}$且m≠±1．
∴m的最大整数值为1．
（2）①当m=1时，原方程为-2x+1=0，
解得：x=$\frac{1}{2}$．
②∵x=$\frac{1}{2}$，
∴3x²+$\frac{36x-5}{{x}^{2}+4x+2}$=3×$（\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{36×\frac{1}{2}-5}{（\frac{1}{2}）^{2}+4×\frac{1}{2}+2}$=$\frac{259}{68}$．

点评 本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）分m²-1=0和m²-1≠0两种情况考虑；（2）①解一元一次方程-2x+1=0；②将x=$\frac{1}{2}$代入分式中求值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，分二次项系数为0和非0两种情况考虑解得情况是关键．