Question

【题目】在△ABC中，将边AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，将边AC绕点A逆时针旋转120°得到线段AE，连接DE.

（1）、如图①，当∠BAC=90°时，若△ABC的面积为5，则△ADE的面积为________；

（2）如图②，CF、BG分别是△ABC和△ADE的高，若△ABC为任意三角形，△ABC与△ADE的面积是否相等，请说明理由；

（3）如图③，连接BD、CE.若AB=4，AC=2，四边形CEDB的面积为13，则△ABC的面积为________.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）相等，理由见解析；（3）

【解析】

（1）继而得∠DAE=∠BAC=90°，可证得△ABC≌△ADE，则两三角形面积相等；

（2）由∠BAD=60°，∠CAE=120°得∠DAE+∠CAB=180°，根据平角定义可得∠DAE +∠GAE=180°，可得∠FAC=∠GAE，然后证得 △ACF≌△AEG，继而得CF=BG，根据等底等高的两个三角形面积相等可求出结论；

（3）如图，分别作出△ABD和△AEC的高AH，AF. 求得等边三角形△ABD的面积为4和△AECDE的面积3， 则△ADE和△ABC的面积之和为6， 再证得 △ABC≌△ADE，从而证得△ADE和△ABC的面积都是3.

（1）根据旋转的性质可得AC=AE，AB=AD，∠BAD=60°，∠CAE=120°，

∵∠BAC=90°

∴∠DAE=90°

∴∠BAC=∠DAE

∴△ABC≌△ADE，

∵△ABC的面积为5

∴△ADE的面积为5.

（2）解：相等，

理由如下：

由旋转，得AC=AE，AB=AD，∠BAD=60°，∠CAE=120°，

∴∠BAD+∠CAE=180°，

∴∠DAE+∠CAB=180°，

∵∠DAE +∠GAE=180°，

∴∠FAC=∠GAE.

∵CF、BG分别是△ABC和△ADE的高，

∴∠AFC=∠AGE =90°，

∴△ACF≌△AEG，

∴CF=BG，

∴△ABC与△ADE的面积相等.

（3）如图，分别作出△ABD和△AEC的高AH，AF.

∵AC=AE，∠BAD=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AH=，

∴S△ABD=,

同理可得S△AEC=3,

∴S△ADE+S△ABC=S四边形CEDB- S△ABD-S△AEC=6

又△ABC≌△ADE，

∴S△ADE=3.