Question

4．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点M从B点出发，在边BA上以每秒3cm的速度向A点运动，同时动点N从C点出发，在边CB上以每秒2cm的速度向B点运动，运动时间为t秒（0＜t＜$\frac{10}{3}$），连接MN．

（1）当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）当t为何值时，S_△BMN=$\frac{9}{40}$S_△ABC？
（3）如图2，连AN、CM，若AN⊥CM，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）分两种情形当△BNM∽△BCA时，可得$\frac{BN}{BC}$=$\frac{BM}{BA}$．当△BNM∽△BAC时，可得$\frac{BN}{AB}$=$\frac{BM}{BC}$，分别列出方程求解即可；
（2）如图1中，作MH⊥BC于H．根据，S_△BMN=$\frac{9}{40}$S_△ABC，列出方程即可解决问题；
（3）如图2中，作MH⊥BC于H．首先证明∠MCH=∠CAN，根据tan∠CAN=tan∠MCH，列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵CN=2t，BM=3t，
当△BNM∽△BCA时，
$\frac{BN}{BC}$=$\frac{BM}{BA}$，
∴$\frac{8-2t}{8}$=$\frac{3t}{10}$，
∴t=$\frac{20}{11}$．
当△BNM∽△BAC时，
$\frac{BN}{AB}$=$\frac{BM}{BC}$，
∴$\frac{8-2t}{10}$=$\frac{3t}{8}$，
∴t=$\frac{32}{23}$．
综上所述，t=$\frac{20}{11}$s或$\frac{32}{23}$s时，以B、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

（2）如图1中，作MH⊥BC于H．

∵MH∥AC，
∴$\frac{MH}{AC}$=$\frac{BM}{BA}$，
∴$\frac{MH}{6}$=$\frac{3t}{10}$，
∴MH=$\frac{9}{5}$t，
∵S_△BMN=$\frac{9}{40}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•（8-2t）•$\frac{9}{5}$t=$\frac{9}{40}$•$\frac{1}{2}$•6•8，
整理得t²-4t+3=0，
解得t=1或3．
∴当t=1s或3s时，S_△BMN=$\frac{9}{40}$S_△ABC．

（3）如图2中，作MH⊥BC于H．

∵∠MCB+∠ACM=90°，∠CAN+∠ACM=90°，
∴∠MCH=∠CAN，
∴tan∠CAN=tan∠MCH，
∴$\frac{2t}{6}$=$\frac{\frac{9}{5}t}{8-\frac{12}{5}t}$，
解得t=$\frac{40}{39}$，
∴t=$\frac{40}{39}$s时，AN⊥CM．

点评 本题考查相似形综合题、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的首先思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．