Question

（附加题）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于M，N两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线CE⊥AD，垂足为E，交大圆于F，H两点．
（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：FC•CH=AE•AO；
（3）若FC，CH是方程x²-2

5

x+4=0的两根（CH＞CF），求图中阴影部分图形的周长．

Answer 1

分析：（1）相等，主要根据是垂径定理，从已知条件中可知AB为大圆的弦，且垂直于半径，所以相等．
（2）利用切线定理，和相交弦定理就可证明．
（3）先解方程求出根，再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段，分别计算相加．

解答：（1）解：相等．（1分）
连接OC，则CO⊥AB，故AC=BC．

（2）证明：连接FB，AH，C0，
∵∠FBA=∠AHF，∠FCB=∠HCA，
∴△ACH∽△FCB，
∴AC•CB=FC•CH=AC²，
∵∠ACO=∠CEA=90°，∠CAO=∠CAO，
∴△ACE∽△AOC，得AC²=AE•AO．
∴FC•CH=AE•AO．

（3）解：解方程得：CH=

5

+1，CF=

5

-1，
CE=EF-FC=EH-FC=

5

-（

5

-1）=1，AC²=4，AC=2，
在Rt△ACE中，sinA=

CE

AC

=

1

2

，
∴∠A=30°，∴∠AOC=60°，∠CON=120°．
在△ACO中，CO=AC•tanA=2×

3

3

=

2

3

3

，
AO=

AC

sin60°

=

4 3

3

，AM=AO-OM=

4 3

3

-

2 3

3

=

2 3

3

，

CN

长=

1

3

×2π•

2 3

3

=

4 3

9

π，
AN=AM+2OC=

2 3

3

+2×

2 3

3

=2

3

，
阴影部分周长=AC+AN+

CN

=2+2

3

+

4 3

9

π．

点评：[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识．