Question

8．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A，与直线y=-x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（-1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立两直线解析式可求得B点坐标，由关于原点对称可求得C点坐标，由直线y=-2x-1可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值．

解答 解：
（1）联立两直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-2x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B点坐标为（-1，1），
又C点为B点关于原点的对称点，
∴C点坐标为（1，-1），
∵直线y=-2x-1与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，-1），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-1=c}\\{1=a-b+c}\\{-1=a+b+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-x-1；
（2）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC，
∵直线BC解析式为y=-x，
∴直线PQ解析式为y=x，
联立抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{2}}\\{y=1-\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}}\\{y=1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（1-$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）或（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）；
②当t=0时，四边形PBQC的面积最大．
理由如下：
如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，

则S_{四边形PBQC}=2S_△PBC=2×$\frac{1}{2}$BC•PD=BC•PD，
∵线段BC长固定不变，
∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大，
又∠PED=∠AOC（固定不变），
∴当PE最大时，PD也最大，
∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，
∴P点坐标为（t，t²-t-1），E点坐标为（t，-t），
∴PE=-t-（t²-t-1）=-t²+1，
∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、点的对称、菱形的判定和性质、三角形的面积和二次函数的最值等知识点．在（1）中求得A、B、C三点的坐标是解题的关键，在（2）①中得出直线PQ的解析式是解题的关键，在②中确定出四边形PBQC面积最大的条件是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，其中第（2）②小题是难点．