如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)、C,交y轴于点B,对称轴x=-1与x轴交于点D.
(1)求该抛物线的解析式和B、C点的坐标;
(2)设点P(x,y)是第二象限内该抛物线上的一个动点,△PBD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)点G在x轴负半轴上,且∠GAB=∠GBA,求G的坐标;
(4)若此抛物线上有一点Q,满足∠QCA=∠ABO,若存在,求直线QC的解析式;若不存在,试说明理由.
(1)y=-x2-2x+3,C(-3,0)、B(0,3);(2)S=-x2-
(-3<x<0);(3)G(-4,0);(4)存在,
,或
.
解析试题分析:(1)先根据抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(1,0),对称轴为x=-1,列出关于b、c的方程组,解方程组求出b、c的值,得到抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;再解方程-x2-2x+3=0,求出x的值,得到C点的坐标;将x=0代入y=-x2-2x+3,求出y的值,得到B点的坐标;
(2)过点P作PE⊥x轴于点E,根据S=S梯形PEOB-S△BOD-S△PDE求出S关于x的函数关系式,再根据点P(x,y)是第二象限内该抛物线上的一个动点,得出自变量x的取值范围;
(3)设G点坐标为(a,0),则a<0.根据等角对等边得出GB=GA,由此列出方程a2+32=(1-a)2,解方程求出a的值,即可得到G点坐标;
(4)先根据正切函数的定义得出tan∠ABO=,由于∠QCA=∠ABO,得到tan∠QCA=
,再由直线斜率的意义可知直线QC的斜率|k|=
,则k=±
.由此可设直线QC的解析式为y=
x+n,或y=-
x+n,然后将C点坐标(-3,0)代入,求出n的值,即可得到直线QC的解析式.
试题解析:(1) b=-2,c="3" ,C(-3,0)、B(0,3)
(2)过点P作PE⊥x轴于点E.
S=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=.
将y=-x2-2x+3代入得S=-x2-x+
-
﹣
=-
x2-
x.
∴-3<x<0.
∴S关于x的函数关系式为:S=-x2-
(-3<x<0).
(3)G(-4,0)
(4)存在
直线QC解析式为,或
.
考点:二次函数综合题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
某商店销售一种商品,每件的进价为2.5元,根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量为500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你分析,销售单价多少时,可以获利最大?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线y=-x2+
x-2交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,分别过点B,C作y轴,x轴的平行线,两平行线交于点D,将△BDC绕点C逆时针旋转,使点D旋转到y轴上得到△FEC,连接BF.
(1)求点B,C所在直线的函数解析式;
(2)求△BCF的面积;
(3)在线段BC上是否存在点P,使得以点P,A,B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
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在平面直角坐标系中,二次函数
(
)的图象与
轴正半轴交于A点.
(1)求证:该二次函数的图象与x轴必有两个交点;
(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B,若∠ABO=45°,将直线AB向下平移2个单位得到直线l,求直线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,设M(p,q)为二次函数图象上的一个动点,当时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,求m的取值范围.
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如图,抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。
(1)求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式;
(2)求△AOC和△BOC的面积比;
(3)在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理由。
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如图,抛物线经过A
、C(0,4)两点,与x轴的另一交点是B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC的对称点
的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点D作DE⊥BC于点E,反比例函数的图象经过点E,点
在此反比例函数图象上,求
的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
复习课中,教师给出关于x的函数(k是实数).
教师:请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.
学生思考后,黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员,又补充一些结论,并从中选择如下四条:
①存在函数,其图像经过(1,0)点;
②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点;
③当时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;
④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数;
教师:请你分别判断四条结论的真假,并给出理由,最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线过点
,这条抛物线的对称轴与x轴交于点C,点P为射线CB上一个动点(不与点C重合),点D为此抛物线对称轴上一点,且?CPD=
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,△PCD的面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(3)过点P作PE⊥DP,连接DE,F为DE的中点,试求线段BF的最小值.
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