Question

在四边形中，，且．取的中点，连结．

（1）试判断三角形的形状；
（2）在线段上，是否存在点，使．若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）等腰直角三角形（2）存在，当时，有一点，；当时，有两点，

解：（1）在四边形中，，，
四边形为直角梯形（或矩形）．
过点作，垂足为，，

又点是的中点，点是的中点，
又，
，
与是全等的等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形．
（2）存在点使．
以为直径，为圆心作圆．
当时，四边形为矩形，，
圆与相切于点，此时，点与点重合，存在点，使得，
此时．
当时，四边形为直角梯形，
，，圆心到的距离小于圆的半径，圆与相交，上存在两点，使，
过点作，在中，，

连结，则，
在直角三角形中，，
．
同理可得：．
综上所述，在线段上存在点，使．
当时，有一点，；当时，有两点，．
根据已知条件，得到四边形ABCD为直角梯形或矩形．
（1）过点P作PQ⊥BC，易证PQ=BQ=QC，则△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形，因而△PBC是等腰直角三角形．
（2）判断在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD，利用相似三角形的性质与判定得出即可．