Question

15．如图，已知直线y=-x+3的图象分别交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B两点，并与x轴交于另一点D，顶点为C．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求tan∠BAC；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的特征求出点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式，根据二次函数性质求出顶点坐标；
（2）过点C作CE⊥y轴，根据等腰直角三角形的性质求出∠CBA=90°，根据正切的定义计算即可；
（3）分△BPD∽△ABC和△BDP∽△ABC两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 解（1）把y=0代入得x=3，
∴A（3，0），
把x=0代入得y=3，
∴B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴C（1，4），
把y=0代入y=-x²+2x+3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴D（-1，0）；
（2）过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，
则BE=4-3=1，CE=1，
∴BC=$\sqrt{2}$，∠EBC=∠ECB=45°，
又∵OB=OA=3，
∴AB=3$\sqrt{2}$，∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠CBA=180°-45°-45°=90°，
又∵BC$\sqrt{2}$=，AB=3$\sqrt{2}$
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$；
（3）存在P（0，0），（0，-$\frac{1}{3}$），
当点P在原点时，∠BPD=90°，$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$，∠BPD=∠ABC
则△BPD∽△ABC；
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，AB=3$\sqrt{2}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
在Rt△BOD中，OD=1，OB=3，
∴BD=$\sqrt{10}$，
当PD⊥BD时，设点P的坐标为（0，y），
当△BDP∽△ABC时，$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BP}{AC}$，即$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-y}{2\sqrt{5}}$，
解得y=-$\frac{1}{3}$，
∴点P的坐标为（0，-$\frac{1}{3}$），
∴当P的坐标为（0，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）时，以P、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题考查的是二次函数知识的综合运用以及相似三角形的判定和性质定理的应用，掌握待定系数法求函数解析式的一般方法、熟记相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．