Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．

（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；

（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，试求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）存在，坐标为（，）；（3）t＞．

【解析】

（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；

（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；

（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0时，根据0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，于是得到﹣3＜＜3，根据二次函数的性质即可得到结论．

解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，

∴m＝2，

∴P（2，2），

∴n＝2×2＝4，

∴这个反比例函数的解析式为y＝；

（2）由y＝3kx+s﹣1得当y＝x时，（1﹣3k）x＝s﹣1，

当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；

当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；

当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）；

（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，

由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0时，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2时，﹣2≤x2＜4；

∵抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，故﹣3＜＜3，

由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，

y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，当a＞﹣时，t随a的增大而增大，当a＝时，t＝，

∴a＞时，t＞．