Question

【题目】如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B．

求此抛物线的解析式；

若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点不与点B重合，点Q在线段MB上移动，且，设线段，，求与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

在同一平面直角坐标系中，两条直线，分别与抛物线交于点E、G，与中的函数图象交于点F、问四边形EFHG能否成为平行四边形？若能，求m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）m、n之间的数量关系是且．

【解析】

将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出的函数解析式；

过M作轴于N，根据抛物线的函数解析式，即可得到M点的坐标，可分别在和中，用勾股定理表示出MN的长，由此可得到关于PM、x的函数关系式；由于，易证得∽，根据相似三角形得到的比例线段即可得到关于PM、的关系式，联立两式即可求出、x的函数关系式；

根据两根抛物线的解析式和两条直线的解析式，可求出E、F、G、H四点的坐标，即可得到EF、GH的长，由于，若四边形EFHG是平行四边形，那么必有，可据此求出m、n的数量关系．

解：抛物线经过，两点；

，

解得．

抛物线的解析式为；

作，垂足为N．

由，易得，，，；

，，，；

根据勾股定理有：，

；

又，公共角，

∽，

；

由得：；

，

与x的函数关系式为；

四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是：且；

点E、G是抛物线分别与直线，的交点，

点E、G坐标为，；

同理，点F、H坐标为，

，；

四边形EFHG是平行四边形，，

，

；

由题意知，

；

因此四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是且．