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(2001•广州)如图,已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C,∠A=28°.
(1)求∠ACM的度数;
(2)在MN上是否存在一点D,使AB•CD=AC•BC,为什么?

【答案】分析:(1)求∠ACM的度数,需求出∠B的度数;在Rt△ABC中,已知∠A的度数,即可求出∠B、∠ACM的度数;
(2)乘积的形式通常可以转化为比例的形式:
,此时需证Rt△ABC∽Rt△CBD,那么过B作MN的垂线,那么垂足即为符合条件的D点;
,此时需证Rt△ABC∽Rt△ACD,则过A作MN的垂线,垂足也符合D点的条件.
两者的证明过程一致,都是通过弦切角得出一组对应角相等,再加上一组直角得出三角形相似.
解答:解:(1)∵AB是半圆的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠B=90°-∠A=62°,
∵直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C,
∴∠ACM=∠B=62°;

(2)存在符合条件的点D,使AB•CD=AC•BC,
①过A作AD⊥MN于D,则AB•CD=AC•BC,
证明:∵MN是半圆的切线,且切点为C,
∴∠ACD=∠B,
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACD,

即AB•CD=AC•BC;
②过B作BD⊥MN于D,则AB•CD=AC•BC,
证明过程同①,
因此MN上存在至少一点D,使AB•CD=AC•BC.
点评:本题考查了弦切角定理及相似三角形的判定和性质,要求学生能够熟练掌握相似的判断和性质并应用.
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288
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