已知.如图①.正方形ABCD与矩形DEFG的边AD.DE在同一直线l上.点G在CD上.正方形ABCD的边长为a.矩形DEFG的长DE为b.宽DG为3．若矩形DEFG沿直线l向左以每秒1个单位的长度的速度运动．若矩形DEFG在运动过程中与正方形ABCD的重叠部分的面积记作S.运动时间记为t秒.其中S与t的函数图象如图②．矩形DEFG的顶点经运动后的对应点记作D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．已知，如图①，正方形ABCD与矩形DEFG的边AD、DE在同一直线l上，点G在CD上，正方形ABCD的边长为a，矩形DEFG的长DE为b，宽DG为3（其中a＞b＞3）．若矩形DEFG沿直线l向左以每秒1个单位的长度的速度运动（点D、E始终在直线l上）．若矩形DEFG在运动过程中与正方形ABCD的重叠部分的面积记作S，运动时间记为t秒（0≤t≤m），其中S与t的函数图象如图②．矩形DEFG的顶点经运动后的对应点记作D′、E′、F′、G′．

（1）根据题目所提供的信息，可求得b=4，a=5，m=9；
（2）连结AG′、CF′，设以AG和CF为边的两个正方形的面积之和为y，求当0≤t≤5时，y与时间t之间的函数关系式，并求出y的最小值以及y取最小值时t的值．
（3）如图③，这是在矩形DEFG运动过程中，直线AG第一次与直线CF垂直的情形，求此时t的值，并探究：在矩形DEFG继续运动过程中，直线AG′与直线CF′是否存在平行或再次存在的情形？如果存在，请画出图形，直接写出t的值；若不存在，说明理由．

分析（1）由图②的函数图象知：从第4-5秒，S的值恒为12，即此时矩形全部落在正方形的内部，由此可求得两个条件：①矩形的面积为12，②正方形的边长为1+DE，根据这两个条件求解即可．
（2）当0≤t≤5时，矩形在直线AB的左侧，可用t表示出AD′、PF′的长，易求得D′G、CP的长，即可用勾股定理求得AG′²、CF′²的值，即可得到y、t的函数关系式．
（3）此题要分五种情况讨论：
①当0≤t＜4时，点E′在D点右侧；由于∠HG′F′、∠HF′G′都是锐角，显然直线AG′与CF′不可能平行；当两条直线垂直时，△G′HF′是直角三角形，易证得△AD′G′∽△CPF′，根据相似三角形得到的比例线段即可求得t的值；
②当t=4时，D、E′重合，此时直线DC与E′F′重合，显然此时AG′与CF′既不平行也不垂直，因为过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行或垂直；
③当4＜t＜5时，矩形在正方形的内部，延长G′F′交BC于P，延长AG′交CD于Q，此时∠CF′P是锐角，所以∠CF′G是钝角，显然AG′与CF′不可能垂直；当两直线平行时，可证得△AD′G′∽△F′PC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得t的值；
④当t=5时，此种情况与②相同；
⑤当5＜t＜9时，此时∠QG′F′与∠CF′G′都是钝角，显然AG′与CF′不可能平行；当两直线垂直时，可延长CF′与AG′相交于点M，延长G′F′与CD相交于点P，通过证△AD′G′∽△CPF′来求得此时t的值．

解答解：（1）由图②知：从第4到第5秒时，S的值恒为12，此时矩形全部落在正方形的内部，
那么矩形的面积为12，即可求得DE=4；
这个过程持续了1秒，说明正方形的边长为：DE+1=5；
由于矩形的速度恒定，所以5～m也应该用4秒的时间，故m=5+4=9；
即：b=4，a=5，m=9．
故答案为：4；5；9
（2）如图1，当0≤t≤5时，
∵AD′=5-t，D′G=3，PF′=4-t，CP=2，
∴y=9+（5-t）²+4+（4-t）²，
∴y=2（t-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{27}{2}$，
∴当t=$\frac{9}{2}$时，y有最小值，y_最小值=$\frac{27}{2}$．
（3）①当0≤t＜4时，分别延长AG′和F′C；如图③

由于∠1和∠2都是锐角，所以∠1+∠2＜180°，
所以AG′与CF′不可能平行．
设AG′与F′C的延长线交于点H，
当∠G′AD′=∠PCF′时，直线AG′⊥CF′；
∴△AD′G′∽△CPF′，
∴$\frac{AD'}{CP}=\frac{D'G'}{PF'}$，
∴$\frac{5-t}{2}=\frac{3}{4-t}$，
解得t₁=2，t₂=7（不合题意，舍去）．
②当t=4时，由于点F′在CD上，而点G′不在直线AD上，如图2

因为AD⊥CD，所以AG′不可能也垂直于CD
（因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直）．
同样，由于AB∥CD，而点G′不在直线AB上，
所以t=4时，AG′也不可能平行于CD（CF′）
（因为过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）．
③4＜t＜5时，延长G′F′交PC于P，延长AG′交CD于Q，如图4

由于∠CF′P是锐角，所以∠CF′G是钝角，
所以∠CF′G+∠QGF′≠90°，所以AG′与CF′不可能垂直；
当∠G′AD′=∠CF′P时，AG′∥CF′，
易得△AD′G′∽△F′PC，
∴$\frac{AD'}{F'P}=\frac{D'G'}{CP}$，
∴$\frac{5-t}{t-4}=\frac{3}{2}$，
解得t=4.4．
④当t=5时，AG′与CF′既不可能垂直也不可能平行，理由同②．
⑤当5＜t＜9时，因为∠QG′F′与∠CF′G′都是钝角，
所以∠QG′F′+∠CF′G′＞180°，
所以AG′与CF′不可能平行．
延长CF′与AG′相交于点M，延长G′F′与CD相交于点P；
当∠MG′F′+∠MF′G′=90°时，AG′⊥CF′；
又∵∠AG′D′+∠AG′F′=90°，∠MF′G′=∠CF′P，
∴∠AG′D′=∠CF′P，又∠AD′G′=∠F′PC，
∴△AD′G′∽△CPF′，
∴$\frac{AD'}{CP}=\frac{D'G'}{F'P}$，
∴$\frac{t-5}{2}=\frac{3}{t-4}$，
解得：t₁=2（不合题意，舍去），t₂=7；
所以，综上所述，当t=2或t=7时，直线AG′与直线CF′垂直，当t=4.4时，直线AG′与直线CF′平行．

点评此题主要考查了矩形、正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及分段函数的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大，关键是根据矩形、正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质进行分析．

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