Question

已知，如图，⊙O₁和⊙O₂内切于点P，过点P的直线交⊙O₁于点D，交⊙O₂于点E；DA与⊙O₂相切，切点为C．
（1）求证：PC平分∠APD；
（2）PE=3，PA=6，求PC的长．

Answer 1

（1）证明：过点P作两圆的公切线PT．
∴∠TPC=∠4，∠3=∠D，
∵∠4=∠D+∠5，
∴∠2+∠3=∠D+∠5．
∴∠2=∠5．
又∵DA与⊙O相切于点C，
∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，
∴PC平分∠APD；

（2）解：∵DA与⊙O₂相切于点C，
∴∠PCA=∠4，
由（1）知∠2=∠1．
∴△PCA∽△PEC．
∴，
即PC²=PA•PE．
∵PE=3，PA=6，
∴PC²=18，
∴PC=．
分析：（1）首先过点P作两圆的公切线PT，由弦切角定理，可得∠TPC=∠4，∠3=∠D，又由三角形外角的性质，易证得∠2=∠5，又由DA与⊙O₂相切，切点为C，可得∠5=∠1，继而可得PC平分∠APD；
（2）首先证得△PCA∽△PEC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PC²=PA•PE，继而求得答案．
点评：此题考查了相切圆的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．