Question

【题目】如图，六边形是正六边形，点是边的中点，分别与交于点，则四边形MCDN的值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

设BE的中点为O，则O为正六边形ABCDEF的中心，过点O作OQ⊥CD于Q，连接AC交BE于G，连接FD交BE于H，根据六边形是正六边形得到正六边形的边长都相等，各内角都相等，都等于120°，从而得到∠BAC=∠BCA=30°，∠AGB=∠CGB=∠FHB=∠DHE=90°，AG=CG，所以∠CAF=∠AFD=∠CDF=∠GCD=∠OGC=90°，根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，得到AB=2BG，可以得到四边形ACDF和四边形OGCQ都是矩形，所以AF∥GH∥CD，AF=GH=CD，OQ=CG=AG，设BG=a，则AB=2a，AP=AF=AB=×2a=a，CD=AB=a，CD=AB=2a，GH=AF=2a，根据GM∥AP得到△CGM∽△CAP和△DHN∽△DFP，可得GM=AP=a，NH=PF=a，根据线段的和差可以求出BM，MN，AG，CD的长，根据三角形面积公式和梯形面积公式即可求出S△PBM和S四边形MCDN的面积，从而得到它们的比值．

解：设BE的中点为O，则O为正六边形ABCDEF的中心，过点O作OQ⊥CD于Q，连接AC交BE于G，连接FD交BE于H，如图：

∵六边形ABCDEF是正六边形，P是AF的中点

∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠BAF=120°，AB=BC=CD=DE=EF=AF，BE平分∠ABC，EB平分∠DEF，AP=PF

∴∠BAC=∠BCA==30°，∠AGB=∠CGB=∠FHB=∠DHE=90°，AG=CG

∴AB=2BG，∠CAF=∠AFD=∠CDF=∠GCD=∠OGC=90°

∴四边形ACDF和四边形OGCQ都是矩形

∴AF∥GH∥CD，AF=GH=CD，OQ=CG=AG

设BG=a，则AB=2a

∴AP=AF=AB=×2a=a，CD=AB=a，CD=AB=2a，GH=AF=2a

∵GM∥AP

∴△CGM∽△CAP

∴

∴GM=AP=a

同理可得NH=PF=a，

∴BM=BG+GM=a+a=a，MN=GH-GM-NH=2a-a-a=a

在Rt△ABG中，AG=

∴OQ=GC=AG=

∴=

故选A．