Question

【题目】小明和同学们在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图1，圆中，是圆中的两条弦，于点，于点，若，则.

（1）请帮小明证明这个结论；

（2）请参考小明思考问题的方法解决问题，如图2，在中，，为的内心，以为圆心，为半径的圆与三边分别相交于点、、、. 若，，求的周长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）40.

【解析】

（1）连接OA,OC，根据条件，结合勾股定理，即可证明结论.

（2）根据三角形内心的概念，和第（1）小题的结论，可知，然后，设，根据勾股定理，列出方程，求出，即可求得三角形的周长.

（1）连，如图，

∵，

∴，

在中，，

在中，，

∵，

∴，∴；（也可其他方法）

（2）分别过点作三边的垂线，垂足分别为点，连，如图，

∵为的内心，

∴，

∴由1得：，

∴，

∵；，

∴，，

∴，

∴，

设，则，

∵，

∴，

∴，∴，

∴的周长