Question

10．在△ABC内侧作射线AP，自B，C分别向射线AP引垂线，垂足分别为D，E，M为BC边中点，连接MD，ME．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：MD=ME；
（3）如图2，若射线AP平分∠BAC，且AC＞AB，求证：MD=$\frac{1}{2}$（AC-AB）．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（过直线为一点作直线的垂线）画出几何图形；
（2）延长DM交CE于N，如图1，先证明BD∥CE得到∠DBM=∠NCM，再证明△BDM≌△CNM得到DM=MN，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到结论；
（3）延长BD交AC于G点，如图2，根据等腰三角形的判定方法，由AD平分∠BAGAD⊥BG得到△ABG为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得AB=AG，BD=DG，接着证明DM为△BCG的中位线，则DM=$\frac{1}{2}$CG，于是可得到MD=$\frac{1}{2}$（AC-AB）．

解答 （1）解：如图1，
（2）证明：延长DM交CE于N，如图1，
∵BD⊥AP，CE⊥AP，
∴BD∥CE，
∴∠DBM=∠NCM，
∵M为BC边中点，
∴BM=CM，
在△BDM和△CNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠NCM}\\{BM=CM}\\{∠BMD=∠CMN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CNM，
∴DM=MN，
在Rt△DEN中，EN为斜边DN的中线，
∴DM=ME=MN，
即MD=ME；
（3）证明：延长BD交AC于G点，如图2，
∵AD平分∠BAG，
而AD⊥BG，
∴△ABG为等腰三角形，
∴AB=AG，BD=DG，
∵BM=CM，
∴DM为△BCG的中位线，
∴DM=$\frac{1}{2}$CG，
∵CG=AC-AG=AC-AB，
∴MD=$\frac{1}{2}$（AC-AB）．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质．