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5.如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证:BF=AC+AF.

分析 延长FE至Q,使EQ=EF,连接CQ,根据SAS证△BEF≌△CEQ,推出BF=CQ,∠BFE=∠Q,根据平行线性质和角平分线性质推出∠G=∠GFA=∠BFE,推出∠G=∠Q,推出CQ=CG即可.

解答 证明:延长FE至Q,使EQ=EF,连接CQ,
∵E为BC边的中点,
∴BE=CE,
∵在△BEF和△CEQ中$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{∠BEF=∠CEQ}\\{EF=EQ}\end{array}\right.$,
∴△BEF≌△CEQ,
∴BF=CQ,∠BFE=∠Q,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∵EF∥AD,
∴∠CAD=∠G,∠BAD=∠GFA,
∴∠G=∠GFA,
∴∠GFA=∠BFE,AG=AF,
∵∠BFE=∠Q(已证),
∴∠G=∠Q,
∴CQ=CG,
∵CQ=BF,
∴BF=CG=AG+AC=AF+AC.

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质和角平分线性质的应用,主要考查学生运用性质进行推理的能力,正确作辅助线是解此题的关键.

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