Question

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的直径为10，sin∠DAC=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD．先依据平行线的判定定理证明OD∥AC，然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠OAD=∠DAC，于是可证明AD平分∠BAC．
（2）连接ED、OD．由题意可知AE=10．接下来，在△ADA中，依据锐角三角函数的定义可求得AD的长，然后在△ADC中，可求得DC和AC的长，由OD∥AC可证明△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的性质可列出关于BD的方程．

解答 解：（1）连接OD．
∵OD、OA是⊙O的半径，
∴OA=OD．
∴∠OAD=∠ODA．
∵点D是⊙O的切点，
∴∠ODC=90°
又∵∠C=90°，
∴OD∥AC．
∴∠ODA=∠DAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）如图2所示：连接ED．

∵⊙O的半径为5，AE是圆O的直径，
∴AE=10，∠EDA=90°．
∵∠EAD=∠CAD，sin∠DAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×10=4$\sqrt{5}$．
∴DC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×4$\sqrt{5}$=4，AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×4$\sqrt{5}$=8．
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{BD}{BD+4}$，
解得：BD=$\frac{20}{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，列出关于BD的方程是解题的关键．