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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM，过点M作MH⊥AB于H，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．
    （1）试说明：△BDN∽△OCB；
    （2）试用t的代数式表示MH的长；
    （3）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形与△OAB相似？
    （4）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
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    分析：（1）根据平行线证明∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO=∠OCB，根据两组角对应相等两三角形相似即可证明△BDN∽△OCB；
    （2）利用勾股定理求出OB的长为10，再表示出BM长为10-t，然后利用相似三角形对应边成比例得
    MH
    AO
    =
    BM
    BO
    ，代入求解即可；
    （3）因为两三角形的对应边不明确，所以分BD与BA是对应边和BD与BO是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；
    （4）先求出△OBC的面积为30，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BDN的面积，然后分点M在ON上时S△DMN=S△BDM-S△BDN和点M在BN上时S△DMN=S△BDN-S△BDM两种情况求出△DMN的面积．
    解答：解：（1）∵AB∥CO，
    ∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
    ∵线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，
    ∴DE∥BC，
    ∴∠DEO=∠OCB，
    ∴∠BDN=∠OCB，
    ∴△BDN∽△OCB；

    （2）直角梯形中OABC中，∠BAO=90°，MH⊥AB，
    ∴∠BHM=∠BAO=90°，OB=
    		OA2+AB2
    =10，
    ∴MH∥AO，
    ∴△BHM∽△BAO，
    ∴
    MH
    AO
    =
    BM
    BO
    ，
    ∴
    MH
    6
    =
    10-t
    10
    ，
    ∴MH=6-
    3
    5
    t；

    （3）①若△BDM∽△BAO，
    ∴
    BD
    BA
    =
    BM
    BO
    ，
    ∴
    t
    8
    =
    10-t
    10
    ，
    ∴t=
    40
    9
    ，
    ②若△BDM∽△BOA，
    ∴
    BD
    BO
    =
    BM
    BA
    ，
    ∴
    t
    10
    =
    10-t
    8
    ，
    ∴t=
    50
    9
    ；
    综上所述，当t=
    40
    9
    或t=
    50
    9
    时，△BDM与△BOA相似；
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    （4）过点B作BG⊥OC于G，
    ∴BG=AO=6，
    ∴S△B0C=
    1
    2
    ×10×6=30    ，
    ∵△BDN∽△OCB，
    ∴
    S△BDN
    S△BOC
    =(
    BD
    OC
    )2    ，
    ∴
    S△BDN
    30
    =(
    t
    10
    )2    ，精英家教网
    ∴S△BDN=
    3
    10
    t2    ，
    ①当点M在ON上即0＜t＜5时，
    y=S△DMN=S△BDM-S△BDN，
    =
    1
    2
    ×t×(6-
    3
    5
    t)-
    3
    10
    t2    ，
    =3t-
    3
    5
    t2    ，
    ②当点M在BN上即5＜t＜8时，
    y=S△DMN=S△BDN-S△BDM，
    =
    3
    10
    t2-
    1
    2
    ×t×（6-
    3
    5
    t），
    =
    3
    5
    t2-3t．
    点评：本题综合性较强，主要考查相似三角形的判定和相似三角形的性质，要注意分情况讨论．
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    （1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
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    （1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
    （2）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
    （3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？

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    （1）求线段AB所在直线的解析式；
    （2）设四边形OEDB的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出自变量的t的取值范围；
    （3）在运动过程中，存不存在某个时刻，使得以A、E、D为顶点的三角形与△ABO相似，若存在求出这个时刻t，若不存在，说明理由．

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    （1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；
    （2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
    （3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．

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    （1）写出点B的坐标：
    （3，2）
    （3，2）
    ；
    （2）当t=7时，求直线PQ的解析式，并判断点B是否在直线PQ上；
    （3）求S关于t的函数关系式；
    （4）连接AC．是否存在t，使得PQ分△ABC的面积为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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