Question

已知二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A、B、C、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；
（2）说出抛物线y=x²-2x-3可由抛物线y=x²如何平移得到？
（3）求四边形OCDB的面积．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，可求出C点的坐标，令y=0，可求出A、B的坐标；将二次函数的解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，然后再根据“左加右减，上加下减”的平移规律来进行判断；
（3）由于四边形OCDB不规则，可连接OD，将四边形OCDB的面积分成△OCD和△OBD两部分求解．

解答：解：（1）当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∵A在B的左侧，
∴点A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0）（2分）
当x=0时，y=-3
∴点C的坐标为（0，-3）（3分）
又∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴点D的坐标为（1，-4）（4分）
（也可利用顶点坐标公式求解）
画出二次函数图象如图（6分）

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线y=x²向右平移1个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线y=x²-2x-3；

（3）解法一：连接OD，作DE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F
S_{四边形OCDB}=S_△OCD+S_△ODB=

1

2

OC•DE+

1

2

OB•DF
=

1

2

×3×1+

1

2

×3×4=

15

2

（10分）
解法二：作DE⊥y轴于点E
S_{四边形OCDB}=S_梯形OEDB-S_△CED=

1

2

（DE+OB）•OE-

1

2

CE•DE
=

1

2

（1+3）×4-

1

2

×1×1=

15

2

（10分）
解法三：作DF⊥x轴于点F，
S_{四边形OCDB}=S_梯形OCDF+S_△FDB=

1

2

（OC+DF）•OF+

1

2

FB•FD，
=

1

2

（3+4）×1+

1

2

×2×4=

15

2

．（10分）

点评：此题考查了二次函数与坐标轴交点及顶点坐标的求法，二次函数图象的平移以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时，其面积通常要转化为规则图形的面积的和差．