Question

【题目】在ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，连接AF、CE．

（1）求证：△BFO≌△DEO；

（2）若AF⊥BC，试判断四边形AFCE的形状，并加以证明；

（3）若在（2）的条件下再添加EF平分∠AEC，试判断四边形AFCE的形状，无需说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；

（2）四边形AFCE是矩形，证明见解析；

（3）四边形AFCE是正方形.

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，AD∥BC，得出∠OBF＝∠ODE，由ASA证明△BFO≌△DEO即可；

（2）由全等三角形的性质得出BF＝DE，证出四边形AFCE是平行四边形，再证出∠AFC＝90°，即可得出四边形AFCE是矩形．

（3）由EF平分∠AEC知∠AEF＝∠CEF，再由AD∥BC知∠AEF＝∠CFE，从而得∠CEF＝∠CFE，继而知CE＝CF，据此可得答案．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，AD∥BC，AD＝BC，

∴∠OBF＝∠ODE，

在△BFO和△DEO中，

∵ ，

∴△BFO≌△DEO（ASA）；

（2）四边形AFCE是矩形；理由如下：

∵△BFO≌△DEO，

∴BF＝DE，

∴CF＝AE，

∵AD∥BC，

∴四边形AFCE是平行四边形；

又∵AF⊥BC，

∴∠AFC＝90°，

∴四边形AFCE是矩形；

（3）∵EF平分∠AEC，

∴∠AEF＝∠CEF，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠CFE，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

∴四边形AFCE是正方形．