Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是$\frac{25}{6}$或$\frac{50}{13}$．

Answer 1

分析 分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据$\frac{ED}{MN′}$=$\frac{DO′}{O′N′}$计算即可
②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得$\frac{DO}{EF}$=$\frac{ED}{EM}$计算即可．

解答 解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=10，
∵DN′∥EF，
∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，
∴四边形DEFN′是矩形，
∴EF=DN′，DE=FN′=10，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∴BN′=DN′=EF=FC=5，
∴$\frac{ED}{MN′}$=$\frac{DO′}{O′N′}$，
∴$\frac{10}{2}$=$\frac{DO′}{5-DO′}$，
∴DO′=$\frac{25}{6}$．
当∠MON=90°时，
∵△DOE∽△EFM，
∴$\frac{DO}{EF}$=$\frac{ED}{EM}$，
∵EM=$\sqrt{E{F}^{2}+M{F}^{2}}$=13，
∴DO=$\frac{50}{13}$，
故答案为$\frac{25}{6}$或$\frac{50}{13}$．

点评 本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．