Question

【题目】如图，抛物线过x轴上两点A（9，0），C（﹣3，0），且与y轴交于点B（0，﹣12）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．

①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①不存在这样的点M，理由见解析；②，四边形CBNA面积的最大值为．

【解析】

（1）先根据点设抛物线的顶点式，再将点代入求解即可得；

（2）①先求出直线AB的解析式，从而可设点M、N的坐标分别为，，从而可得，再根据平行四边形的性质可得，然后利用一元二次方程的根的判别式即可得出答案；

②先根据点的坐标分别求出的长，再根据三角形面积公式可求出的面积，从而可得出四边形CBNA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解即可得．

（1）因为抛物线过x轴上两点

所以设抛物线解析式为

将点代入得：

解得

则抛物线解析式为

即；

（2）如图，设直线AB的解析式为

将点代入得：，解得

则直线AB的解析式为

由题意，可设点M的坐标为，点N的坐标为

则

①若四边形OMNB为平行四边形，则

即

整理得：

此方程的根的判别式，方程无实数根

则不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；

②

点B到MN的距离等于，点A到MN的距离等于

因为M为线段AB上一个动点

所以

由二次函数的性质可知，当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小

则当时，取得最大值，最大值为

此时，

故点M的坐标为．