Question

如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
（Ⅰ）求证：△POE∽△BAP；
（Ⅱ）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（Ⅲ）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（Ⅳ）在（Ⅲ）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由翻折得到：△OPE与△FPE，△ABP与△DBP全等，进而得到以P为顶点的四个小角中，∠OPE与∠FPE，∠APB与∠DPB相等，即可得到∠OPE+∠APB为直角，而∠OEP+∠OPE也为直角，所以∠OPE=∠APB，再加上直角等于直角，得到所证的两三角形相似；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的两三角形相似，得到对应边成比例即可列出y与x的二次函数关系式，由x的范围，考虑顶点取到，所以当x等于顶点横坐标时，y的最大值为顶点纵坐标，根据顶点坐标公式求出y的最大值即可；
（Ⅲ）根据题意可知：△EOP和△PAB都为等腰直角三角形，求出OP=OE=1，AP=AB=3，得到点P，点B，点E三点坐标，设出抛物线的一般式，把三点坐标代入得到关于a，b，c的三元一次方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值，确定出抛物线的解析式；
（Ⅳ）分点E和点P分别为直角顶点两种情况考虑：当点P位直角顶点时，Q与B重合，所以B的坐标即为Q的坐标；当E为直角顶点时，先根据P和B的坐标求出直线PB的方程，由直线PB与直线EQ平行，得到k值相同，又根据E的坐标，写出直线EQ的方程，与抛物线解析式联立即可求出Q的坐标．

解答：（Ⅰ）证明：由翻折可知：△OPE≌△FPE，△ABP≌△DBP，
∴∠OPE=∠FPE，∠APB=∠DPB，又∠OPE+∠FPE+∠APB+∠DPB=180°，
∴∠EPB=∠EPF+∠DPB=∠OPE+∠APB=90°，又∠OPE+∠OEP=90°，
∴∠OEP=∠APB，又∠POE=∠BAP=90°，
∴△POE∽△BAP；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：△POE∽△BAP，
∴

OP

AB

=

OE

AP

，又OP=x，OE=y，故PA=4-x，AB=3，
即

x

3

=

y

4-x

，化简得：y=

1

3

x（4-x）=-

1

3

x²+

4

3

x，且0＜x＜4，
∴当x=-

b

2a

=-

4 3

2×(- 1 3 )

=2时，y_max=

4ac-b2

4a

=

4×(- 1 3 )×0-( 4 3 )2

4×(- 1 3 )

=

4

3

；

（Ⅲ）解：根据题意可知：△EOP和△PAB都为等腰直角三角形，且OP=OE=1，AP=AB=3，
则E（0，1），P（1，0），B（4，3），设过三点的抛物线解析式为：y=ax²+bx+c，
把三点坐标代入得：

c=1① a+b+c=0② 16a+4b+c=3③

，
③-②×4得：12a-3c=3，把c=1代入解得：a=

1

2

，
把a=

1

2

，c=1代入②解得：b=-

3

2

，故y=

1

2

x²-

3

2

x+1；

（Ⅳ）解：存在．
当点P为△EPQ的直角顶点时，由EP⊥PB，此时Q与B重合，可得Q₁（4，3）；
当点E为△EPQ的直角顶点时，过点E作EQ₂⊥EP，交抛物线与点Q₂，
由EQ₂∥PB，设直线PB的方程为：y=kx+b，
把P（1，0）和B（4，3）代入得：

k+b=0① 4k+b=3②

，
②-①得：3k=3，解得：k=1，把k=1代入①得：b=-1，
所以直线PB的方程为：y=x-1，则直线EQ₂的斜率为1，
则直线EQ₂的方程为：y=x+m，把E（0，1）代入得：m=1，即直线EQ₂的方程为：y=x+1，
与抛物线解析式联立消去y得：x+1=

1

2

x²-

3

2

x+1，即x（x-5）=0，解得：x=0或x=5，
把x=5代入直线EQ₂方程y=x+1得：y=6，故Q₂（5，6），
综上，满足题意的Q点的坐标为（4，3）或（5，6）．

点评：本题要求学生掌握证明相似的方法：两对对应角相等的两三角形相似；两对对应边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；待定系数法的步骤：先设出函数解析式，把已知点的坐标代入得到一个方程组，求出方程组的解即可得到所设字母的值，确定出函数解析式．同时注意翻折得到三角形全等以及掌握分类讨论的数学思想．