已知:在Rt△ABC中.∠ABC=90°.∠C=60°.现将一个足够大的直角三角板的直角顶点P放在斜边AC上．(1)设三角板的两直角边分别交边AB.BC于点M.N．①如图1当点P是AC的中点时.分别作PE⊥AB于点E.PF⊥BC于点F.在图中找到与△PEM相似的三角形并证明,②在①的条件下.并直接写出PM与PN的数量关系．(2)移动点P.使AP=2CP.将三角板绕� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，现将一个足够大的直角三角板的直角顶点P放在斜边AC上．
（1）设三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N．
①如图1当点P是AC的中点时，分别作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，在图中找到与△PEM相似的三角形并证明；
②在①的条件下，并直接写出PM与PN的数量关系．
（2）移动点P，使AP=2CP，将三角板绕点P旋转，设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N（PM不与边AB垂直，PN不与边BC垂直）；或者三角板的两直角边分别交边AB、BC的延长线与点M、N．
③请在备用图中画出图形，判断PM与PN的数量关系，并选择其中一种图形证明你的结论；
④当△PCN是等腰三角形时，若BC=6cm，请直接写出线段BN的长．

分析（1）①根据垂直的定义得到∠PEM=∠PFN=90°推出四边形EBFP是矩形于是得到∠EPF=90°即∠2+∠3=90°等量代换得到∠1=∠3即可得到结论；
②求出AB=$\sqrt{3}$BC，求出PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，推出$\frac{PE}{PF}=\frac{BC}{AB}$$\frac{1}{\sqrt{3}}$，求出∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF，∠PEM=∠PFN=90°，根据相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM，推出$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即可得出答案．
（2）③过P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，求出△AEP∽∠PFC，推出$\frac{AP}{PC}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{2PC}{PC}$=2，设CF=x，则PE=2x，求出PF=$\sqrt{3}$x，证△PEM∽△PFN，推出$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$即可；
④求出CP=2cm，分为两种情况：第一种情况：当N在线段BC上时，得出△PCN是等边三角形，求出CN=CP=2cm，代入BN=BC-CN求出即可；第二种情况：当N在线段BC的延长线上时，求出CN=PC=2cm，代入BN=BC+CN求出即可．

解答解：（1）①△PEM∽△PFN，
证明：∵PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F
∴∠PEM=∠PFN=90°
又∠ABC=90°，∠PEB=90°
∴四边形EBFP是矩形
∴∠EPF=90°即∠2+∠3=90°
又∵∠2+∠1=90°
∴∠1=∠3
∴△PEM∽△PFN，
②PN=$\sqrt{3}$PM，
∵在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠C=60°，
∴AB=$\sqrt{3}$BC，
∵PE∥BC，PF∥AB，P为AC中点，
∴E为AB中点，F为BC中点，
∴PE=$\frac{1}{2}$BC，PF=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{BC}{AB}$$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF，
∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△PFN∽△PEM，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴PN=$\sqrt{3}$PM；
（2）③结论：PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PN，选择图3，
证明：过P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠C，
∴△AEP∽∠PFC，
∴$\frac{AP}{PC}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{2PC}{PC}$=2，
设CF=x，则PE=2x，
在Rt△PFC中，∠C=60°，∠PFC=90°，
∴PF=$\sqrt{3}$x，
∵在四边形BFPE中，∠BFP=∠B=∠BEP=90°，
∴∠EPF=90°，
即∠EPM+∠MPF=90°，
∵∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠NPF=∠EPM，
∵∠MEP=∠PFN=90°，
∴△PEM∽△PFN，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{PE}{PF}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PN．

④解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，BC=6cm，
∴AC=2BC=12cm，
∵AP=2PC，
∴CP=4cm，
分为两种情况：第一种情况：当N在线段BC上时，如图3，
∵△PCN是等腰三角形，∠C=60°，CP=4cm，
∴△PCN是等边三角形，
∴CN=CP=4cm，
∴BN=BC-CN=6cm-4cm=2cm；
第二种情况：当N在线段BC的延长线上时，如图2，
∵∠PCN=180°-60°=120°，
∴要△PCN是等腰三角形，只能PC=CN，
即CN=PC=4cm，
∴BN=BC+CN=6cm+4cm=10cm，
即BN的长是2cm或10cm．

点评本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，三角形中位线，相似三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．用了分类讨论思想．

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