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12.如图,在△ABC中,∠ACB=∠APB=90°,AP=BP,AC=4,BC=3,则CP的长等于$\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

分析 过点P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,得到四边形PFCE是矩形,求得∠EPF=90°,推出△PAE≌△PBF,根据全等三角形的性质得到PF=PE,得到矩形PFCE是正方形,求得BF=AE=0.5,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

解答 解:过点P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,
∵∠ACB=∠APB=90°,
∴四边形PFCE是矩形,
∴∠EPF=90°,
∴∠FPB=∠APE,
在△PFB与△PAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠PEA=90°}\\{∠FPB=∠APE}\\{PB=PA}\end{array}\right.$,
∴△PAE≌△PBF,
∴PF=PE,
∴矩形PFCE是正方形,
∴BF=AE=0.5,
∵∠ACP=∠BCP=45度,
∴△PCE为等腰直角三角形,
∵CE=$\frac{7}{2}$7/2,
∴CP=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$.
故答案为:$\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,矩形和正方形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.

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