Question

如图，在平面直角坐标系中，两个函数y=x，y=-

1

2

x+6的图象交于点A．动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S．
（1）求点A的坐标．
（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式．
（3）在（2）的条件下，S是否有最大值若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由．
（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是

 

．

Answer 1

分析：（1）因为两个函数y=x，y=-

1

2

x+6的图象交于点A，所以将两个函数的解析式联立，得到方程组，解之即可；
（2）因为点P在直线OA即y=x上以每秒1个单位的速度运动，所以OP=t，而OA是第一、三象限坐标轴夹角的平分线，所以点P坐标为(

2

2

t，

2

2

t)，又因PQ∥x轴交直线BC于点Q，所以可得点Q的纵坐标为

2

2

t，并且点Q在y=-

1

2

x+6上，因此可得到关于x、t的关系式，经过变形可用t表示x，即得到点Q坐标为(12-

2

t，

2

2

t)，PQ=12-

3 2

2

t，当重叠部分是正方形时，分情况代入面积公式中求解；
（3）结合（2）中的关系式可知有最大值，并且最大值应在0＜t≤3

2

中，利用二次函数最值的求法就可得到S的最大值为12；
（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时，此时重合部分就是△AOB，B的坐标为（12，0），并且有PB⊥OB，PB=OB=12，所以OP=12

2

，即t≥12

2

．

解答：解：（1）由

y=x y=- 1 2 x+6

可得

x=4 y=4

，
∴A（4，4）；

（2）点P在y=x上，OP=t，
则点P坐标为(

2

2

t，

2

2

t)，
点Q的纵坐标为

2

2

t，并且点Q在y=-

1

2

x+6上，
∴

2

2

t=-

1

2

x+6，x=12-

2

t，
即点Q坐标为(12-

2

t，

2

2

t)，PQ=12-

3 2

2

t，
当12-

3 2

2

t=

2

2

t时，t=3

2

，
当0＜t≤3

2

时，S=

2

2

t(12-

3 2

2

t)=-

3

2

t2+6

2

t，
当点P到达A点时，t=4

2

，
当3

2

＜t＜4

2

时，S=(12-

3 2

2

t)2，
=

9

2

t2-36

2

t+144；

（3）有最大值，最大值应在0＜t≤3

2

中，
S=-

3

2

t2+6

2

t=-

3

2

(t2-4

2

t+8)+12=-

3

2

(t-2

2

)2+12，
当t=2

2

时，S的最大值为12；

（4）当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时，此时重合部分就是△AOB，
∵B的坐标为（12，0），PB⊥OB，
∴PB=OB=12，
∴OP=12

2

，
∴t≥12

2

．

点评：解决本题这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．