Question

14．如图，△ABE是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AE的延长线交于点C，D是BC的中点，连接DE，连接CO，线段CO的延长线交⊙O于F，FG⊥AB于G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=4，BE=2，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，OD，根据全等三角形的性质得到∠OED=∠OBD，由BC是⊙O的切线，得到∠OBD=90°，于是得到结论；
（2）由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{E}^{2}+E{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，求得OF=OB=$\sqrt{5}$根据相似三角形的性质得到BC=$\frac{BE}{AE}•AB$=$\sqrt{5}$，根据勾股定理到OC=$\sqrt{C{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5+5}$=$\sqrt{10}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OE，OD，
在△OED与△OBD中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OB}\\{OD=OD}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OBD，
∴∠OED=∠OBD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBD=90°，
∴∠OED=90°，
∴OE⊥ED，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+E{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OF=OB=$\sqrt{5}$，
∵△AEB∽△BEC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{AE}$，
∴BC=$\frac{BE}{AE}•AB$=$\sqrt{5}$，
∴OC=$\sqrt{C{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5+5}$=$\sqrt{10}$，
∵∠AOF=∠BOC，
∵FG⊥AB，
∴∠FGO=90°，
∴∠FGO=∠OBC=90°，
∴△OFG∽△OBC，
∴$\frac{OF}{OC}=\frac{OG}{OB}$，
∴OG=$\frac{OF}{OC}•$OB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴AG=AO-OG=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．