如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点.点P从点B出发,以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts.
(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
①若a=,求PQ的长;
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明
理由.
解:(1)△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,∴BD=CD=BC=6。
∵a=2,∴BP=2t,DQ=t。∴BQ=BD-QD=6-t。
∵△BPQ∽△BDA,∴,即,解得:。
(2)①过点P作PE⊥BC于E,
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。
∴PB:AB=CM:AC。
∵AB=AC,∴PB=CM。∴PB=PQ。
∴BE=BQ=(6-t)。
∵a=,∴PB=t。
∵AD⊥BC,∴PE∥AD。∴PB:AB=BE:BD,即。
解得,t=。
∴PQ=PB=t=(cm)。
②不存在.理由如下:
∵四边形PQCM为平行四边形,∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。
∴PB:AB=CM:AC。
∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ。
若点P在∠ACB的平分线上,则∠PCQ=∠PCM,
∵PM∥CQ,∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。
∴PM=CM。∴四边形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。
∴PB=CQ。
∵PB=at,CQ=BD+QD=6+t,∴PM=CQ=6+t,AP=AB-PB=10-at,且 at=6+t①。
∵PM∥CQ,∴PM:BC=AP:AB,∴,化简得:6at+5t=30②。
把①代入②得,t=。
∴不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上。
【解析】等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,平行的性质,菱形的判定和性质,反证法。
【分析】(1)由△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,根据等腰三角形三线合一的性质,
即可求得BD与CD的长,又由a=2,△BPQ∽△BDA,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得t的值。
(2)①首先过点P作PE⊥BC于E,由四边形PQCM为平行四边形,易证得PB=PQ,又由平行
线分线段成比例定理,即可得方程,解此方程即可求得答案。
②用反证法,假设存在点P在∠ACB的平分线上,由四边形PQCM为平行四边形,可得四边形PQCM是菱形,即可得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及可得方程组,解此方程组求得t值为负,故可得不存在。
科目:初中数学 来源: 题型:
A、
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B、(
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C、
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D、
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