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如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:
①∠BOC=90°+∠A;②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;③设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn; ④EF是△ABC的中位线.
其中正确的结论是   
【答案】分析:根据角平分线的定义得∠ABC=2∠1,∠ACB=2∠2,根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°,则2∠1+2∠2+∠A=180°,∠1+∠2=90°-∠A,而∠1+∠2+∠BOC=180°,则180°-∠BOC=90°-∠A,可得到∠BOC=90°∠A;由EF∥BC得到∠1=∠3,∠2=∠4,易得∠EBO=∠3,∠4=∠FCO,则EB=EO,FC=FO,即BE+FC=EF,根据两圆的位置关系的判定方法得到以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;连OA,过O作OG⊥AE于G,根据内心的性质得OA平分∠BAC,由角平分线定理得到OG=OD=m,然后利用三角形的面积公式易得S△AEF=S△OAE+S△OAF=AE•m+AF•m=(AE+AF)•m=mn;若EF是△ABC的中位线,则EB=AE,FC=AF,而EB=EO,FC=FO,则AE=EO,AF=FO,即有AE+AF=EO+FO=EF,这不符合三角形三边的关系.
解答:解:如图
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠ABC=2∠1,∠ACB=2∠2,
而∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
∴2∠1+2∠2+∠A=180°,
∴∠1+∠2=90°-∠A,
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°,
∴180°-∠BOC=90°-∠A,
∴∠BOC=90°∠A,所以①正确;
∵EF∥BC,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
而∠1=∠EBO,∠2=∠FCO,
∴∠EBO=∠3,∠4=∠FCO,
∴EB=EO,FC=FO,
∴BE+FC=EF,
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切,所以②正确;
连OA,过O作OG⊥AE于G,如图,
∵点O为△ABC的内心,
∴OA平分∠BAC,
∴OG=OD=m,
∴S△AEF=S△OAE+S△OAF=AE•m+AF•m=(AE+AF)•m=mn,所以③不正确;
∵EB=EO,FC=FO,
若EF是△ABC的中位线,则EB=AE,FC=AF,
∴AE=EO,AF=FO,
∴AE+AF=EO+FO=EF,这不符合三角形三边的关系,所以④不正确.
故答案为①②.
点评:本题考查了两圆的位置关系:设两圆半径分别为R、r,两圆圆心距为d,则d>R+r?两圆外离;d=R+r?两圆外切;R-r<d<R+r(R≥r)?两圆相交;d=R-r(R>r)?两圆内切;0≤d<R-r(R>r)?两圆内含.也考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质以及角平分线定理.
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