Question

如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，过P作PM⊥BP交CB的延长线于M
（1）求证：∠C=∠M
（2）若cos∠C=

2

3

，CM=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）如图，连接OB、OP，构造平行线MP∥OB，所以由平行线的性质，等腰△OBC的性质以及等量代换证得结论；
（2）设⊙O的半径为R．如图，连接AB．根据垂径定理、圆周角定理以及（1）中的MP∥OB推知四边形OBMP是平行四边形．则对边OB=PM=R，通过解直角△ABC和直角△BPM分别求得线段BC=

4

3

R、BM=

3

2

R，然后结合已知条件知BC+BM=3．

解答：（1）证明，如图，连接OB、OP．∵PB是⊙O的切线，点B是切点，
∴∠PBO=90°．
又∵PM⊥BP，
∴∠BPM=90°，
∴∠PBO=∠BPM，
∴MP∥OB，
∴∠M=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∴∠C=∠M；

（2）如图，连接AB，则OP⊥AB，CB⊥AB．
∴OP∥CM．
又∵MP∥OB，
∴四边形OBMP是平行四边形．
设⊙O的半径为R，则MP=OB=R．
∵cos∠C=

BC

AC

=

2

3

，
∴BC=

4

3

R．
∴cos∠M=cos∠C=

PM

BM

=

2

3

，
∴BM=

3

2

R，
∴

4

3

R+

3

2

R=3，
解得，R=

18

17

．

点评：本题考查了切线的性质，解直角三角形．解答（2）题时，借用了平行四边形的判定与性质．