Question

按如图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．
（1）若y与x的关系是y=x+p（100-x），请说明：当p=时，这种变换满足上述两个要求；
（2）若按关系式y=a（x-h）²+k（a＞0）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

Answer 1

解：（1）当P=时，y=x+（100-x），
即y=x+50．
∴y随着x的增大而增大，
即P=时，满足条件（Ⅱ）
又当x=20时，y=×20+50=60．
而原数据都在20～100之间，
所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），
综上可知，当P=时，这种变换满足要求．

（2）本题是开放性问题，答案不唯一．
若所给出的关系式满足：
（a）h≤20；
（b）若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求．
如取h=20，y=a（x-20）²+k，
∵a＞0，
∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大，
令x=20，y=60，得k=60 ①
令x=100，y=100，得a×80²+k=100②
由①②解得，
∴y=（x-20）²+60．
分析：（1）当P=时，y=x+50，观察这个一次函数可知：斜率＞0，则y随x的增大而增大，因此符合条件Ⅱ；因为20≤x≤100，即20≤2y-100≤100，可得60≤y≤100，因此也符合Ⅰ的条件．
（2）本题答案不唯一．可根据抛物线的开口方向和抛物线的对称轴来说明．
点评：本题考查了一次函数和二次函数的性质，解题的关键是弄清题目给出的阅读材料的含义．