Question

5、设n是奇数，求证：60|6ⁿ-3ⁿ-2ⁿ-1．

Answer 1

分析：因为60=2²×3×5，2²，3，5是两两互质的，所以只需证明2²，3，5能被6ⁿ-3ⁿ-2ⁿ-1整除即可．

解答：证明：∵60=2²×3×5．
由于n是奇数，
∴2²|6ⁿ-2ⁿ，2²|3ⁿ+1，
∴2²|6ⁿ-2ⁿ-3ⁿ-1，3|6ⁿ-3ⁿ，3|2ⁿ+1，
∴3|6ⁿ-3ⁿ-2ⁿ-1，5|6ⁿ-1，5|3ⁿ+2ⁿ，
∴5|6ⁿ-1-3ⁿ-2ⁿ．
∵2²，3，5两两互质，
∴60|6ⁿ-3ⁿ-2ⁿ-1．

点评：此题考查了数的整除性问题．解此题的关键是对60分解质因数．此题难度较大，解题时要注意仔细分析．