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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，把抛物线y=-x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称．点A，O，B分别是抛物线l1，l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y轴于点E．
    （1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；
    （2）设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由．
    （3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM=S四边形AOED？如果存在，求出M点的坐精英家教网标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到l1的解析式；
    由于l1、l2关于y轴对称，那它们的顶点坐标关于y轴对称，而开口大小、开口方向、与y轴的交点都相同，据此可求出l2的解析式；
    （2）根据轴对称的性质，很明显的可以看出四边形PQCD是等腰梯形；若P为l1的对称轴与抛物线l2的交点时，PQ=CD，此时四边形PQCD是矩形；
    （3）根据抛物线l1的解析式，可求出A、D、E的坐标，进而可求得梯形AOED的面积，即可得到△ABM的面积，由于AB是定长，那么根据△ABM的面积即可求出M点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线l1的解析式中，即可求得M点的坐标．
    解答：精英家教网解：（1）l1：y=-（x-1）2+1（或y=-x2+2x），（1分）
    l2：y=-（x+1）2+1（或y=-x2-2x）；（2分）

    （2）以P，Q，C，D为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，（3分）
    理由：∵点C与点D，点P与点Q关于y轴对称，
    ∴CD∥PQ∥x轴．
    ①当P点是l2的对称轴与l1的交点时，点P，Q的坐标分别为（-1，-3）和（1，-3），而点C，D的坐标分别为（-1，1）和（1，1），
    所以，CD=PQ，CP⊥CD，四边形CPQD是矩形；（4分）
    ②当P点不是l2的对称轴与l1的交点时，根据轴对称性质，
    精英家教网有：CP=DQ（或CQ=DPS），但CD≠PQ，
    ∴四边形CPQD（四边形CQPD）是等腰梯形．（5分）

    （3）存在，设满足条件的M点坐标为（x，y），连接MA，MB，AD，依题意得：
    A（2，0），B（-2，0），E（0，1），
    S梯形AOED=
    (1+2)×1
    2
    =
    3
    2
    ，（6分）
    ①当y＞0时，S△ABM=
    1
    2
    ×4×y=
    3
    2
    ∴y=
    3
    4
    ，（7分）
    将y=
    3
    4
    代入l1的解析式，解得：x1=
    3
    2
    ，x2=
    1
    2
    ，
    ∴M1(
    3
    2
    ，
    3
    4
    )，M2(
    1
    2
    ，
    3
    4
    )    ，（8分）
    ②当y＜0时，S△ABM=
    1
    2
    ×4×(-y)=
    3
    2
    ∴y=-
    3
    4
    ，（9分）
    将y=-
    3
    4
    代入l1的解析式，解得x=1±
    		7
    2
    ，
    ∴M3(
    2+
    		7
    2
    ，-
    3
    4
    )，M4(
    2-
    		7
    2
    ，-
    3
    4
    )    ． （10分）
    点评：此题主要考查了二次函数图象的平移、轴对称的性质、等腰梯形及矩形的判定、图形面积的求法等知识的综合应用能力．
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    A、点O1的坐标是（1，0）B、点C1的坐标是（2，-1）C、四边形OBA1B1是矩形D、若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3

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    ①点O1的坐标是（0，1）；②点C1的坐标是（2，-1）；③四边形OBA1B1是矩形；④若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3；⑤点A经过的路径长为3；⑥两阴影面积的和是π．
    A、2B、3C、4D、5

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    1
    2
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    27
    2
    27
    2
    ．

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    		2
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