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    （2012•郑州模拟）已知二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点A（1，0）及B（-2，0）两点．
    （1）求二次函数的表达式及抛物线顶点M的坐标；
    （2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出四边形NQAC的面积的最大值；
    （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
    分析：（1）利用交点式得出抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+2），将C（0，-2）坐标代入求出a的值即可；
    （2）利用待定系数法求出线段BM所在的直线的解析式，再利用S=S△AOC+S梯形OCNQ求出S与t间的函数关系式即可求出最值；
    （3）利用①若∠APC=90°，则PC2+PA2=AC2，②若∠ACP=90°，则PC2+AC2=PA2，③若∠PAC=90°，则AC2+PA2=PC2，分别求出m的值即可得出P点坐标．
    解答：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点A（1，0）及B（-2，0）两点．
    ∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+2），将C（0，-2）坐标代入，-2=a（0-1）（0+2），
    解得：a=1，
    故y=x2+x-2=（x+
    1
    2
    ） 2-
    9
    4
    ；则其顶点M的坐标是（-
    1
    2
    ，-
    9
    4
    ）．

    （2）设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
    ∴
    0=-2k+b
    -
    9
    4
    =-
    1
    2
    k+b
    ．
    解得：
    k=-
    3
    2
    b=-3
    ，
    ∴线段BM所在的直线的解析式为y=-
    3
    2
    x-3．
    ∵-t=-
    3
    2
    x-3，∴x=
    2
    3
    t-2    ，点N的坐标为N（
    2
    3
    t-2    ，-t），
    ∴S=S△AOC+S梯形OCNQ=
    1
    2
    ×1×2+
    1
    2
    （2+t）•|
    2
    3
    t-2    |=-
    1
    3
    t2+
    1
    3
    t+3    ．
    ∴S与t间的函数关系式为S=-
    1
    3
    t2+
    1
    3
    t+3    =-
    1
    3
    （t2-t）+3=-
    1
    3
    （t-
    1
    2
    ）2+
    37
    12
    ，
    故t=
    1
    2
    时，S的最大值为
    37
    12
    ．

    （3）存在符合条件的点P，
    设点P的坐标为P(-
    1
    2
    ，m)    ，如图，连接PA、PC，作CE⊥MP于E．
    则AC2=12+22=5；PA2=(-
    1
    2
    -1)2+m2    ；PC2=(
    1
    2
    )2+(m+2)2    ．
    分以下几种情况讨论：
    ①若∠APC=90°，则PC2+PA2=AC2，
    即(-
    1
    2
    -1)2+m2    +(
    1
    2
    )2+(m+2)2    =5，
    解得：m1=-
    1
    2
    ，m2=-
    3
    2
    ，
    ②若∠ACP=90°，则PC2+AC2=PA2，
    即(
    1
    2
    )2+(m+2)2    +5=(-
    1
    2
    -1)2+m2    ，
    解得：m=-
    7
    4
    ．
    ③若∠PAC=90°，则AC2+PA2=PC2，(-
    1
    2
    -1)2+m2    +5=(
    1
    2
    )2+(m+2)2    ，
    解得：m=
    3
    4
    ．
    综上所述，存在满足条件的点P，其坐标分别是：P1(-
    1
    2
    ，-
    1
    2
    )    ，P2(-
    1
    2
    ，-
    3
    2
    )    ，P3(-
    1
    2
    ，-
    7
    4
    )    ，P4(-
    1
    2
    ，
    3
    4
    )    ．
    点评：本题考查了二次函数综合题以及勾股定理的应用等知识，注意△PAC为直角三角形时，需要分三种情况进行讨论，以防漏解．
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