Question

【题目】定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．

（1）判断：一个内角为120°的菱形　　等距四边形．（填“是”或“不是”）

（2）如图2，在5×5的网格图中有A、B两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为互不全等的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”，并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为　　 端点均为非等距点的对角线长为　　

（3）如图1，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，连结AD，AC，BC，若四边形ABCD是以A为等距点的等距四边形，求∠BCD的度数．

Answer 1

【答案】（1）是;（2）见解析;（3）150°．

【解析】

（1）由菱形的性质和等边三角形的判定与性质即可得出结论；

（2）根据题意画出图形，由勾股定理即可得出答案；

（3）由SAS证明△AEC≌△BED，得出AC=BD，由等距四边形的定义得出AD=AB=AC，证出AD=AB=BD，△ABD是等边三角形，得出∠DAB=60°，由SSS证明△AED≌△AEC，得出∠CAE=∠DAE=15°，求出∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=30°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB和∠ACD的度数，即可得出答案．

解：（1）一个内角为120°的菱形是等距四边形；

故答案为：是；

（2）如图2，图3所示：

在图2中，由勾股定理得：

在图3中，由勾股定理得：

故答案为：

（3）解：连接BD．如图1所示：

∵△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，

∴DE=EC，AE=EB，

∠DEC+∠BEC=∠AEB+∠BEC，

即∠AEC=∠DEB，

在△AEC和△BED中， ，

∴△AEC≌△BED（SAS），

∴AC=BD，

∵四边形ABCD是以A为等距点的等距四边形，

∴AD=AB=AC，

∴AD=AB=BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠DAB=60°，

∴∠DAE=∠DAB﹣∠EAB=60°﹣45°=15°，

在△AED和△AEC中，

∴△AED≌△AEC（SSS），

∴∠CAE=∠DAE=15°，

∴∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=30°，

∵AB=AC，AC=AD，

∴

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=75°+75°=150°．