Question

如图，将△ABC纸片沿DE折叠
（1）当点A落在△ABC内部时为点A₁，请写出∠A₁，∠1，∠2之间的关系

2∠A₁=∠1+∠2

；

（2）当点A落在△ABC外部时为点A₂，请写出∠A₂，∠1，∠2之间的关系

2∠A₂=∠2-∠1

．
 

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质有∠AED=∠A₁ED，∠ADE=∠A₁DE，∠A=∠A₁，再根据三角形内角和定理得∠A₁+∠A₁ED+∠A₁DE=180°，∠AED+∠A₁ED+∠1=180°，∠ADE+∠A₁DE+∠2=180°，则2∠A₁+2∠A₁ED+2∠A₁DE=360°，2∠A₁ED=180°-∠1，2∠A₁DE=180°-∠2，易得2∠A₁+180°-∠1+180°-∠2=360°，即可得到∠A₁、∠1、∠2之间的数量关系；
（2）根据折叠的性质有∠AED=∠A₂ED，∠A=∠A₂，再根据三角形内角和定理得∠A₂+∠A₂ED+∠A₂DE=180°，由三角形外角的性质有∠A₂ED=∠1+∠BED=∠1+∠A+∠ADE，
即∠A₂ED=∠1+∠A₂+∠ADE，则有∠A₂+∠1+∠A₂+∠ADE+∠A₂DE=180°，根据平角的定义得到∠ADE+∠A₂DE=180°-∠2，代入上式即可得到∠A₂、∠1、∠2之间的数量关系．

解答：解：（1）当点A落在△ABC内部时为点A₁，
∵△AED由△A₁ED沿ED折叠，
∴∠AED=∠A₁ED，∠ADE=∠A₁DE，∠A=∠A₁，
∵∠A₁+∠A₁ED+∠A₁DE=180°，
∴2∠A₁+2∠A₁ED+2∠A₁DE=360°，
而∠AED+∠A₁ED+∠1=180°，∠ADE+∠A₁DE+∠2=180°，
∴2∠A₁ED=180°-∠1，2∠A₁DE=180°-∠2，
∴2∠A₁+180°-∠1+180°-∠2=360°，
∴2∠A₁=∠1+∠2；
（2）当点A落在△ABC外部时为点A₂，
∵△AED由△A₂ED沿ED折叠，
∴∠AED=∠A₂ED，∠A=∠A₂，
∵∠A₂+∠A₂ED+∠A₂DE=180°，
而∠A₂ED=∠1+∠BED=∠1+∠A+∠ADE，
∴∠A₂ED=∠1+∠A₂+∠ADE，
∴∠A₂+∠1+∠A₂+∠ADE+∠A₂DE=180°，
又∵∠2+∠ADE+∠A₂DE=180°，即∠ADE+∠A₂DE=180°-∠2，
∴2∠A₂+∠1+180°-∠2=180°，
∴2∠A₂=∠2-∠1．
故答案为2∠A₁=∠1+∠2；2∠A₂=∠2-∠1．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形外角的性质以及图形折叠的性质．