Question

如图，过A（8，0）、B（0，8

3

）两点的直线与直线y=

3

x交于点C、平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求C点的坐标，应先根据题意得出直线AB的方程，再与y=

3

联立，得出的交点的坐标即为C点的坐标．而t的取值范围的最大值只要用C点横坐标除以1即可．
（2）解此题时可设D、E两点的横坐标为t，再根据l与AB、y=

3

两条直线相交即可得出D、E关于t的坐标．再根据等边三角形各个角均为60°，做DE边上的高，运用勾股定理即可得出高的长度（关于t）．再分别讨论t的取值，画出图形，代入各自对应的面积公式，化简后即可得出S关于t的方程．
（3）要使△FOP为等腰三角形，则腰只能是OF、FP，由此只要设出P、F两点的坐标，根据两点之间的坐标公式，得出关于t的代数式，令OF=FP，结合t的取值，即可得出答案．

解答：解：（1）设AB的解析式为y=kx+b，
把A（8，0）、B（0，8

3

）分别代入解析式得，

8k+b=0 b=8 3

，
解得k=-

3

，
则函数解析式为y=-

3

x+8

3

．
将y=-

3

x+8

3

和y=

3

x组成方程组得，

y=- 3 x+8 3 y= 3 x

，
解得

x=4 y=4 3

．
故得C（4，4

3

），
∴t的取值范围是：0≤t≤4；

（2）作EM⊥y轴于M，DG⊥y轴于点G，
∵D点的坐标是（t，-

3

t+8

3

），E的坐标是（t，

3

t）
∴DE=-

3

t+8

3

-

3

t=8

3

-2

3

t；
∴等边△DEF的DE边上的高为：

3

2

DE=12-3t；
根据E点的坐标（t，

3

t），以及∠MNE=60°，
故ME=t，MN=tan30°ME=

3

3

t，
同理可得：GH=

3

3

t，
∴可求梯形上底为：8

3

-2

3

t-

2 3

3

t，
∴当点F在BO边上时：12-3t=t，
∴t=3，
当0≤t＜3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形面积为：
S=

t

2

(8

3

-2

3

t+8

3

-2

3

t-

2 3

3

t)
=

t

2

(16

3

-

14

3

3

t)
=-

7

3

3

t2+8

3

t；
当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形
S=

1

2

(8

3

-2

3

t)(12-3t)
=3

3

t2-24

3

t+48

3

；

（3）存在，P（

24

7

，0）；
说明：∵FO≥4

3

，FP≥4

3

，OP≤4，△DEF是等边三角形，
∴以P，O，F为顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP，
若FO=FP时，t=2（12-3t），
解得：t=

24

7

，
∴P（

24

7

，0）．

点评：本题是一个综合题，主要考查了一次函数的性质，等边三角形的性质，以及规则图形的面积计算．在解本题时要注意讨论t的取值范围．