Question

（2012•鞍山）如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB=

1

3

，延长OE到点F，使EF=2OE．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：BF是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）连OA，由直径CE⊥AB，根据垂径定理可得到AD=BD=2，弧AE=弧BE，利用圆周角定理得到∠ACE=∠BCE，∠AOB=2∠ACB，且∠AOE=∠BOE，则∠BOE=∠ACB，可得到cos∠BOD=cos∠ACB=

1

3

，在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，利用勾股定理可计算出x=

2

2

，则OB=3x=

3 2

2

；
（2）由于FE=2OE，则OF=3OE=

9 2

2

，则

OB

OF

=

1

3

，而

OD

OB

=

1

3

，于是得到

OB

OF

=

OD

OB

，根据相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根据相似三角形的性质有∠OBF=∠ODB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论．

解答：（1）解：连OA，如图，
∵直径CE⊥AB，
∴AD=BD=2，弧AE=弧BE，
∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，
又∵∠AOB=2∠ACB，
∴∠BOE=∠ACB，
而cos∠ACB=

1

3

，
∴cos∠BOD=

1

3

，
在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，
∵OD²+BD²=OB²，
∴x²+2²=（3x）²，解得x=

2

2

，
∴OB=3x=

3 2

2

，
即⊙O的半径为

3 2

2

；

（2）证明：∵FE=2OE，
∴OF=3OE=

9 2

2

，
∴

OB

OF

=

1

3

，
而

OD

OB

=

1

3

，
∴

OB

OF

=

OD

OB

，
而∠BOF=∠DOB，
∴△OBF∽△ODB，
∴∠OBF=∠ODB=90°，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线．

点评：本题考查了圆的综合题：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半；过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；运用三角形相似证明角度相等．