Question

如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．

Answer 1

解：（1）过点O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，
∴AC=BD；

（2）连接OA，OC，
在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，
∴OA²-AE²=OC²-CE²，
∴OA²-OC²=AE²-CE²，
∵AB=6cm，CD=4cm，
∴AE=3cm，CE=2cm，
∴OA²-OC²=5，
∴圆环的面积为：πOA²-πOC²=π（OA²-OC²）=5π．
分析：（1）首先过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理可证得AE=BE，CE=DE，继而可得AC=BD；
（2）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，继而可得OA²-OC²=5，则可求得圆环的面积
点评：此题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．