Question

已知△ABC，（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+

1

2

∠A；
（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°-∠A；
（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°-

1

2

∠A．
上述说法正确的个数是（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

分析：用角平分线的性质和三角形内角和定理证明，证明时可运用反例．

解答：解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
则∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB
则∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
故成立；
（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°时，结论不成立；
（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，
则∠PBC=

1

2

∠FBC=

1

2

（180°-∠ABC）=90°-

1

2

∠ABC，
∠BCP=

1

2

∠BCE=90°-

1

2

∠ACB
∴∠PBC+∠BCP=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠PBC+∠BCP=90°+

1

2

∠A，
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-

1

2

（180°+∠A）=90°-

1

2

∠A，
故成立．
∴说法正确的个数是2个．
故选C．

点评：利用特例，反例可以比较容易的说明一个命题是假命题．