Question

【题目】（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

要直接求∠A的度数显然很因难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．

解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴　 　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝　 　

∴△ABP≌△ACD

∴BP＝CD＝4，　 　＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝　 　°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．

（3）拓展应用．如图4，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）PD，∠CAD，∠APB，90；（2）∠APB＝135°；（3）．

【解析】

（1）根据全等三角形的判定和性质即可解决问题；

（2）图3中，把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，利用勾股定理的逆定理证明∠APD=90°即可解决问题；

（3）如图4中，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，证明△ABP≌△DBE，则∠ABP=∠DBE，BD=AB=4，∠PBE=60°，BE=PE，AP=DE，再证明∠DBC=90°，在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD的长度，即为PA+PB+PC的最小值．

（1）如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°，

∴∠BAP＝∠CAD，

∴△ABP≌△ACD（SAS）

∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝90°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

故答案为：PD，∠CAD，∠APB，90．

（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，

∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，如图3，

∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，

∵∠PBD＝90°

∴DP＝PB＝2，∠DPB＝45°，

在△APD中，AD＝3，PD＝2，PA＝1，

∵12+(2)2＝32，

∴AP2+PD2＝BD2，

∴△APD为直角三角形，

∴∠APD＝90°，

∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．

（3）解：如图4中，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，

∴△ABP≌△DBE

∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，

∴△BPE是等边三角形

∴EP＝BP

∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE

∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD

∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC

∴∠DBE+∠PBC＝30°

∴∠DBC＝90°

∴CD＝，

故答案为．