Question

矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（-2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；
（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S_△PAG=

3

4

S_△PEH？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）由于四边形OBCD是矩形，根据B、C的坐标即可确定C点的坐标，然后可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可求出其顶点坐标；
（3）根据平移的性质易求得EH、AG的长，根据两个三角形的面积关系可求出EH、AG边上高的比例关系，进而可确定P点的纵坐标，进而可根据抛物线的解析式求出P点坐标．

解答：解：（1）设经过A（1，0），B（0，3）的直线AB的解析式为y=kx+3；
设k+3=0，
解得k=-3．
∴直线AB的解析式为y=-3x+3．

（2）经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+3
∵D（-2，0），B（0，3）是矩形OBCD的顶点，
∴C（-2，3）；
则

a+b+3=0 4a-2b+3=3

解得

a=-1 b=-2

∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点E（-1，4）．

（3）存在．
解法1：∵EH∥x轴，直线AB交EH于点F．
∴将y=4代入y=-3x+3得F（-

1

3

，4）
∴EF=

2

3

有平移性质可知FH=AG=2
∴EH=EF+FH=

2

3

+2=

8

3

设点P的纵坐标为y_p
①当点P在x轴上方时，
有S_△PAG=

3

4

S_△PEH得

1

2

×2×y_p=

3

4

×

1

2

×

8

3

×（4-y_p）
解得y_p=2
∴-x²-2x+3=2
解得x₁=-1+

2

，x₂=-1-

2

∴存在点P₁（-1+

2

，2），点P₂（-1-

2

，2）
②当点P在x轴下方时
由S_△PAG=

3

4

S_△PEH得

1

2

×2×（-y_p）=

3

4

×

1

2

×

8

3

×(4-yp)
∴-y_p=4-y_p∴y_p不存在，
∴点P不能在x轴下方．
综上所述，存在点P1(-1+

2

，2)，P2(-1-

2

，2)
使得S_△PAG=

3

4

S_△PEH．
解法2：∵EH∥x轴，直线AB交BH于点F．
∴将y=4代入y=-3x+3得F（-

1

3

，4），
∴EF=

2

3

．
由平移性质可知FH=AG=2．
∴EH=EF+FH=

2

3

+2=

8

3

设点P到EH和AG的距离分别为h₁和h₂
由S_△PAG=

3

4

S_△PEH得

1

2

×2×h2=

3

4

×

1

2

×

8

3

×h1
∴h₁=h₂
显然，点P只能在x轴上方，
∴点P的纵坐标为2
∴-x²-2x+3=2
解得x1=-1+

2

，x2=-1-

2

∴存在点p1(-1+

2

，2)，点p2(-1-

2

，2)
使得S_△PAG=

3

4

S_△PEH．

点评：此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，平移的性质以及图形面积的求法等知识，能够根据△PAG和△PEH的面积关系来确定P点纵坐标是解答（3）题的关键．