Question

【题目】如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．不难发现，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化．如图2，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点．若公共点的个数为4，则相对应的AP的取值范围为_____．

Answer 1

【答案】＜AP＜或AP＝5．

【解析】

在Rt△ABC中，直接由勾股定理可求出AC，连接PF，则PF⊥CD，由AB⊥AC和四边形ABCD是平行四边形，得PF∥AC，可证明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的长，有两种情况：①与边AD、CD分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点，可分别写出结论．

解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，

∴BC＝AD＝10，

∵AB⊥AC，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，

如图2所示，连接PF，

设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，

∵⊙P与边CD相切于点F，

∴PF⊥CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，

∴，

∴x＝，

即AP＝；

当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，

∴SABCD＝×6×8×2＝10PG，

∴PG＝，

①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4；

②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，

综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5，

故答案为：＜AP＜或AP＝5．