Question

【题目】如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB的延长线于点P，DC⊥AB于点C．

（1）求证：DB平分∠PDC；

（2）如果DC = 6，，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连结OD，如图，利用切线性质得∠ODB+∠PDB=90°，由CD⊥OB得∠CDB+∠DBC=90°，加上∠ODB=∠OBD，于是得到∠CDB=∠PDB，即DB平分∠PDC；

（2）作BE⊥PD，如图，根据角平分线的性质定理得到BC=BE，在Rt△PDC中，利用三角函数的定义计算PC=8，则利用勾股定理可计算出PD=10，设BC=x，则BE=x，PB=8-x，通过证明Rt△PBE∽Rt△PDC，利用相似比得到x：6=（8-x）：10，然后根据比例性质求出x即可．

（1）证明：如图，连接OD．

∵ DP是⊙O的切线，

∴ OD⊥DP，

∴ ，

∴ ，

又 ∵DC⊥OB，

∴ ，

∴，

∵OD=OB，

∴，

∴，

∴DB平分∠PDC；

（2）如图，过点B作BE⊥DP于点E．

∵，BC⊥DC，

∴BC=BE，

∵DC=6，，

∴DP=10，PC=8，

设CB = x，则BE = x，BP = 8 – x，

∵ △PEB∽△PCD，

∴ ，

∴x=3,

∴ 的长为3.