Question

14．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=$\sqrt{2}$．则四边形ABFE′的面积是$\frac{6+3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S_{四边形ABFE′}=S_{四边形AEFE′}+S_△AEB+S_△EFB即可解决问题．

解答 解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，
∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，
根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，
∴DE=DE′，AE=AE′，
∴AD垂直平分EE′，
∴EN=NE′，
∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=$\sqrt{2}$，
∴AM=EM=EN=AN=1，
∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，
∴EN=EO=1，AO=$\sqrt{2}$+1，
∴AB=$\sqrt{2}$AO=2+$\sqrt{2}$，
∴S_△AEB=S_△AED=S_△ADE′=$\frac{1}{2}$×1×（2+$\sqrt{2}$）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△BDE=S_△ADB-2S_△AEB=1+$\sqrt{2}$，
∵DF=EF，
∴S_△EFB=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△DEE′=2S_△ADE-S_△AEE′=$\sqrt{2}$+1，S_△DFE′=$\frac{1}{2}$S_△DEE′=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
∴S_{四边形AEFE′}=2S_△ADE-S_△DFE′=$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，
∴S_{四边形ABFE′}=S_{四边形AEFE′}+S_△AEB+S_△EFB=$\frac{6+3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{6+3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．