如图.在平面直角坐标系xOy中.一次函数y=$\frac{5}{4}$x+m的图象与x轴交于点A.与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c经过A.C两点.并与x轴的正半轴交于点B(1)求m的值及抛物线的函数表达式,(2)是否存在抛物线上一动点Q.使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形?若存在.求出点Q的横坐标,若存在.请说明理由,(3)若P是抛物线对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=$\frac{5}{4}$x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点C，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）两点，试问$\frac{{M}_{1}P•{M}_{2}P}{{M}_{1}{M}_{2}}$是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．
（参考公式：在平面直角坐标之中，若A（（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点间的距离为AB=${\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}}^{\;}$）

分析（1）把A（-3，0）代入y=$\frac{5}{4}$x+m，即可求出m的值，得到一次函数的解析式，再求出C点坐标．根据抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=1，且经过A、C，列出关于a、b、c的方程组，解方程组即可求出抛物线的函数表达式；
（2）设Q（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$）．如果△ACQ是以AC为直角边的直角三角形时，分两种情况：①点C为直角顶点时，作CQ⊥AC交抛物线于点Q，QE⊥y轴于E．证明△ACO∽△CQE，根据相似三角形对应边成比例求出x的值；②点A为直角顶点时，作AQ′⊥AC交抛物线于点Q′，Q′E′⊥x轴于E．证明△ACO∽△Q′AE′，根据相似三角形对应边成比例求出x的值；
（3）△ACP周长最小时，P为直线BC与对称轴的交点．根据二次函数的对称性求出B点坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把x=1代入，求得P点坐标为（1，3）．设过点P的直线为：y=kx+3-k，把y=kx+3-k代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$，整理得到x²+（4k-2）x-4k-3=0，利用根与系数的关系得出x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3，且y₁-y₂=k（x₁-x₂），然后根据两点间的距离公式求出M₁M₂=${\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=4（1+k²），M₁P=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}}$，M₂P=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}}$，那么M₁P•M₂P=4（1+k²），进而得出$\frac{{M}_{1}P•{M}_{2}P}{{M}_{1}{M}_{2}}$=1为定值．

解答解：（1）∵一次函数y=$\frac{5}{4}$x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（-3，0），
∴0=$\frac{5}{4}$×（-3）+m，解得m=$\frac{15}{4}$，
∴一次函数解析式为y=$\frac{5}{4}$x+$\frac{15}{4}$，
∴C点坐标为（0，$\frac{15}{4}$）．
∵以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A（-3，0）、C（0，$\frac{15}{4}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=1}\\{9a-3b+c=0}\\{c=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数表达式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$；

（2）存在．设Q（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$）．
①当点C为直角顶点时，如图，作CQ⊥AC交抛物线于点Q，QE⊥y轴于E．
在△ACO与△CQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠CQE=90°-∠QCE}\\{∠AOC=∠CEQ}\end{array}\right.$，
∴△ACO∽△CQE，
∴$\frac{QE}{CO}$=$\frac{CE}{AO}$，即$\frac{x}{\frac{15}{4}}$=$\frac{\frac{15}{4}-（-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}）}{3}$，
解得x₁=5.2，x₂=0（不合题意舍去）；
②当点A为直角顶点时，如图，作AQ′⊥AC交抛物线于点Q′，Q′E′⊥x轴于E．
在△ACO与△Q′AE′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAC=∠E′Q′A=90°-∠OAQ′}\\{∠AOC=∠Q′E′A}\end{array}\right.$，
∴△ACO∽△Q′AE′，
∴$\frac{AE′}{CO}$=$\frac{Q′E′}{AO}$，即$\frac{x+3}{\frac{15}{4}}$=$\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{15}{4}}{3}$，
解得x₁=8.2，x₂=-3（不合题意舍去）．
综上所述：Q点的横坐标为5.2或8.2；

（3）∵y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$与x轴交于A（-3，0）、B两点，对称轴为直线x=1，
∴B点坐标为（5，0），
∵C（0，$\frac{15}{4}$），
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{4}$，
当x=1时，y=-$\frac{3}{4}$×1+$\frac{15}{4}$=3，
∴P（1，3）．
设过点P的直线为：y=kx+3-k，
把y=kx+3-k代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$，
得kx+3-k=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$，
整理得，x²+（4k-2）x-4k-3=0，
∴x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3，y₁-y₂=k（x₁-x₂），
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2-4k）²-4（-4k-3）=16k²+16，
∴M₁M₂=${\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=4（1+k²），
同理：M₁P=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+（k{x}_{1}+3-k-3）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}}$，
M₂P=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}}$，
∴M₁P•M₂P=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}}$=|（x₁-1）（x₂-1）|•（1+k²）=4（1+k²），
∴$\frac{{M}_{1}P•{M}_{2}P}{{M}_{1}{M}_{2}}$=1为定值．

点评本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线、直线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称-最短路线问题，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度适中，但是计算量较大．利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键．

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恩格尔系数大于或等于60%	恩格尔系数在50%～60%之间	恩格尔系数在40%～50%之间	恩格尔系数在30%～40%之间	恩格尔系数小于30%
绝对贫困	温饱	小康	富裕	最富裕

（注：在50%-60%之间是指含50%，不含60% 的所有数据，以此类推）
材料2：
2014年2月22日国家统计局上海调查总队报道：2013年上海市居民家庭生活消费总支出人均13425元．其中食品支出人均5334元（包括粮食支出450元，蔬菜及制品支出438元，肉禽蛋奶及制品支出1393元，水产品支出581元），衣着支出人均771元，居住支出人均2260元，公用事业支出人均694元，交通通信支出人均1719元，文化教育支出人均964元，医疗保健支出人均1181元，其它支出人均502元．
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（2）计算上海市居民的恩格尔系数，并判断2013年上海市居民的生活水平．

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